Tronco de cone

O tronco de cone é um sólido geométrico obtido do corte da secção transversal (paralelo a base) de uma pirâmide. Ele é a parte de baixo desse corte:

A planificação do tronco do cone se dá da seguinte maneira:

As principais partes do tronco de cone são:

R → raio da base maior
h → altura do cone
r → raio da base menor
g → geratriz do tronco de cone

Observando a figura acima, é possível perceber algumas relações e cálculos para serem feitos, vamos conhecê-los mais?

- GERATRIZ

Se arrastarmos a altura até a circinferência do raio da base menor, teremos um triângulo retângulo:

Logo, aplicando Pitágoras, teremos:

g² = h² + (R - r)²

Exemplo:

Qual é a geratriz de um tronco de cone, com medidas de raio menor igual a 1cm, raio maior 5cm e altura igual a 3m?

g= ?

r = 1cm

R = 5cm

h = 3cm

g² = h² + (R - r)²

g² =3² + (5 - 1)²

g² = 9 + 4²

g² = 9 + 16

g² = 25

g = √25

g = 5cm

- ÁREA LATERAL:

Vamos observar a lateral planificada:

Temos como área lateral total, uma área de retângulo com bases arredondadas e duas áreas de triângulos com base arredondada.

Área do quadrado:

Aq = b .g

Aq = 2𝛑r . g

Área dos triângulos:

A2t = 2 . b.h/2

A2t =  b.h

A2t = x . g

Vamos encontrar o valor de x, observe que:

2𝛑R = x + 2𝛑r + x

2𝛑R = 2𝛑r + 2x

Isolando o x:

2𝛑R - 2𝛑r = 2x

x = (2𝛑R - 2𝛑r)/2

x = 𝛑 (R - r)

Vamos substituir na fórmula:

A2t = x . g

A2t = 𝛑 (R - r) . g

Agora somando as duas áreas temos:

Al = Aq + a2t

Al = 2𝛑r . g + 𝛑 (R - r) . g

Al = 𝛑g. ( 2r + R - r)

Al = 𝛑g. (R + r)

Então a fórmula para cálcular a área lateral é:

Al = 𝛑g. (R + r)

Exemplo:

Qual é a área lateral do tronco de cone de raio maior igual a 5cm, raio menor igual a 1cm e geratriz igual a 5cm?

Al = 𝛑g. (R + r)

Al = 𝛑 . 5 .(5 - 1)

Al = 𝛑. 5 . 4

Al = 20𝛑cm²

-ÁREA TOTAL:

A área total é a soma de todas as áreas = área lateral, área da base maior e área da base menor.

Como nossas bases menor e maior são círculos, logo:

Abmaior= 𝛑R²

Abmenor = 𝛑r²

Então:

At = Al + Abmaior + Abmenor

At = 𝛑g. (R + r) + 𝛑R²+ 𝛑r²

Exemplo:

Qual é a área total do tronco de cone de raio maior igual a 5cm, raio menor igual a 1cm e geratriz igual a 5cm?

At = 𝛑g. (R + r) + 𝛑R²+ 𝛑r²

At = 𝛑.5 (5 - 1) + 𝛑5² + 𝛑1²

At = 20𝛑 +25𝛑 + 𝛑

At = 46𝛑cm²

- VOLUME:

O volume se refere ao espaço tridimensional que o tronco de cone ocupa. Ele é calculado pela subtração do cone maior pela ponta do cone cortado.

A fórmula do volume do cone é (para saber mais acesse: https://blogdescomplicandomatematica.blogspot.com/2022/06/cone-circular-reto.html):

No caso do cone grandão, como a base é o R no lugar do r² utilizaremos o R² e a altura será igual a (h + y), já, a ponta do cone tem sua base r, que permanecerá assim e terá altura igual a y.

Vtronco = Vconemaior - Vpontadocone

Os dois cones são proporcionais, então, podemos dizer que:

Substituíndo pelo y da fórmula do volume temos:

Ou seja, a fórmula para calcular o volume é dada por:

Exemplo de uso:

Qual é o volume do tronco de cone de raio maior igual a 5cm, raio menor igual a 1cm e altura igual a 3cm?

Vídeo:

Atividade geogebra: