Determinante Vandermonde

Uma matriz de Vandermonde, cujo nome faz referência a Alexandre-Théophile Vandermonde, é uma matriz em que os termos de cada linha estão em progressão geométrica.

Um determinante é de Vandermonde quando temos:
1º linha ou coluna - só o número 1
2º linha ou coluna - elementos característicos quaisquer
3º linha ou coluna - elementos característicos ao quadrado
4º linha ou coluna - elementos característicos ao cubo
e assim sucessivamente.

Quando nos deparamos com esse tipo de matriz fica mais fácil calcular o determinante... não é preciso calcular pela regra de Sarrus ou Laplace.

Basta aplicar a seguinte formula:

O determinante de uma matriz de Vandermonde de tamanho n×n se expressa da seguinte forma:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}V\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})}$

Ou seja: usando a matriz acima para demonstrar, teremos o produto da subtração dos elementos da linha ou coluna da fila base:

det = (a2 - a1) * ( a3 - a2) * ( a3 - a1) * ....... (an - an-1)

(subtração das combinações de todos os elementos possíveis, seja da linha ou coluna base, lembrando que se for linha a combinação é dos elementos da direita para a esquerda e se for coluna é de baixo para cima).

Vamos ao exemplo:

Vamos comparar com a forma normal, pela regra de Sarrus de calcular a determinante:

Comprovamos assim, que de ambas as formas, encontramos o mesmo determinante, quando nos deparamos com uma matriz de Vandermonde.

Outro exemplo:

Outro exemplo com progressões em coluna:

Vamos confirmar com a regra de Sarrus:

Confirmando que mesmo com progressão em colunas, também é possível calcular das duas formas.

Vídeo: