Cone circular oblíquo

 Cone oblíquo é o cone que possui seu eixo inclinado.

Vamos planificar o cone oblíquo:

Observe que nesse caso a geratriz não é a mesma por toda região do triângulo formado pela lateral do cone.

Vamos usar as fórmulas do cone reto como referência para cálculo do cone oblíquo.

https://blogdescomplicandomatematica.blogspot.com/2022/06/cone-circular-reto.html

As partes do cone oblíquo são as mesma do cone reto, por isso, recomendo conhecer a postagem acima.

ÁREA DA BASE:

Na planificação é possível observar que a base continua sendo um círculo, logo para calcular a área dela usamos, ainda, a fórmula de área do círculo, como fizemos no cone reto:

Exemplo:

Qual é a área da base de um cone oblíquo com raio igual a 5cm?

Ab = 𝛑 . r²

Ab = 3,14 . 5²

Ab = 3,14 . 25

Ab = 78,5cm²


VOLUME:

O volume contina tendo a mesma fórmula, ou seja, independente da inclinação do eixo, o volume do cone será determinado por um terço de área da base vezes a altura:

Como a área da base será sempre um círculo, podemos, ainda, dizer que a fórmula do volume é:

Exemplo:

Qual é o volume de um cone oblíquo com raio medindo 5cm e a altura 10cm?

V = 𝛑r²h/3

V = 3,14 . 5² . 10/3

V = 3,14 . 25 . 10/3

V = 785/3

V = 261,66cm³

RELAÇÂO EIXO X ALTURA:

Observe a figura abaixo:

Temos um triângulo retângulo formados pela linha do eixo e altura.

No caso da figura acima em que o ângulo foi dado com relação à horizontal, temos o eixo como hipotenusa e altura é o cateto oposto, então aplicando a fórmula de sen do ângulo alfa, temos a relação:

Exemplo:

Qual é o comprimento do eixo de um cone oblíquo de altura igual a 5cm com inclinação do eixo de 30º com relação a horizontal?

Caso a ângulo seja dado com relação à vertical conforme a figura abaixo, a altura passa a ser o cateto adjacente ao ângulo, com isso passamos a usar a fórmula de cosseno:

Exemplo:

Qual é o comprimento do eixo de um cone oblíquo de altura igual a 5cm com inclinação do eixo de 60º com relação a vertical?

ÁREA LATERAL

Analisando a figura planificada, é possível perceber que não podemos usar o método normal de calcular a área de triângulo para calcular a área lateral do cone oblíquo,  não é?

Vamos ver como podemos calcular, observe abaixo:

O deslocamento é a medida da distância do centro do cone até o vértice deslocado.

Podemos calcular o valor exato através de integral, ou o valor aproximado através de fórmula.

Integral com valor exato:

Fórmula com valor aproximado:

Você pode encontrar a dedução das fórmulas no canal do youtube Matemática para não leigos:

https://www.youtube.com/watch?v=3s-hLdVHc2A

Vamos  dividir a lateral do cone em várias partes infinitesimais de triângulos, conforme abaixo:

Vamos dizer que o ângulo formado do centro da base até a circunferência  para cada minusculos triângulos se chama d𝚹. 

Como a fórmula do comprimento do arco é dada por: ℓ = α * r

No nosso caso, teremos então: ℓ = d𝚹 * r

Observe, também que temos uma relação entre a altura e a geratriz que é dada pela reta |PV|.

A Reta |PV| é nossa hipotenusa e a altura (H) é nosso cateto oposto ao ângulo alfa.

Então temos:

Sen𝛂 = CO/Hip.

Sen𝛂 = H/|PV|

Isolando H temos: 

H = Sen𝛂 . |PV|

Vamos ver as cordenadas de cada ponto no plano de eixo x, y e z:

Observe que o ponto V esta no 0 no eixo X, no eixo y ele é o valor do deslocamento do vértice e no eixo z ele esta no valor de altura (h):

Logo: V = (0, d, h)

Observe que no eixo X o ponto P desloca o raio da base no angulo do coseno de ϴ. No eixo Y ele se desloca o raio da base no angulo do seno de ϴ, enquanto que ele não se desloca no eixo Z:

Logo P = (rcosϴ, r senϴ, 0)

Então: V - P = (0 - rcos ϴ, d - r senϴ, h - 0)

V - P = (rcos ϴ, d - r senϴ, h)

Temos também o vetor tangente a base T, que é dado pelas coordenadas T = (-senϴ, cosϴ, 0).

Na geometria análitica temos quando temos o ângulo entre dois vetores calculamos pela fórmula:

Vamos substituir V pelo vetor |V - P| e u pelo vetor T, então:

Substituindo pelas coordenadas temos:

Vamos voltar a fórmula do H:

H = Sen𝛂 . |V-P| 

Elevaremos tudo ao quadrado:

H² = Sen²𝛂 . |V-P|²

Substituindo  o Sen² e as coordenadas de |V-P| teremos:

A área infinitesimal da superfície lateral do cone oblíquo é dada por:

Para chegar a fórmula aproximada para usar em cálculos, o canal matemática para não leigos, do professor Benício,  usou, partindo da fórmula acima, a expansão binomial. Você pode verificar no vídeo dele: https://www.youtube.com/watch?v=3s-hLdVHc2A

Exemplo:

Qual é a área lateral de um cone oblíquo de altura igual a 10cm, raio igual a 5cm e deslocamento do eixo de 2cm?

vídeo:

Atividade geogebra: