Raiz e potência de números negativos

Os números negativos, não são naturais, ou seja, não foram criados pela natureza. Eles são frutos de transações comerciais e, com isso, por muitos anos a comunidade matemática não os aceitavam.

Hoje os números negativos fazem parte do conjunto dos números inteiros e muito visto em diversos cálculos como potências e raízes.

Como calcular as potências de base negativa?

Para realizar a potência com base negativa é simples, basta realizar a multiplicação normal e, em seguida, realizar os jogos de sinais. Exemplo:

(-5)³ = (-5) x (-5) x (-5) =

5 x 5 = 25 x 5 = 125

Após a multiplicação, é necessário fazer o jogo de sinal: menos com menos = mais, agora a resposta (mais) com menos = menos. então a resposta nesse caso será negativa.

Nesse caso, a resposta é -125.

(-3)² = (-3) x (-3) =

3 x 3 = 9

Fazendo o jogo de sinal: menos com menos = mais

Logo, a resposta é 9.

Se fizermos várias potências com bases negativas, podemos reparar que sempre que o expoente for impar (igual ao primeiro exemplo que o expoente foi 3) a resposta sempre será negativa, pois ao fazer o jogo do sinal, sempre terminaremos em menos.

Se o expoente par (igual ao segundo exemplo queo expoente foi 2) a resposta sempre será positiva, pois ao fazer jogo de sinal, sempre terminaremos com mais.

Observação: sempre que se deparar com números negativos em potências, é importante verificar se o sinal está dentro do parênteses com o número, isso significa que o número é negativo. Caso contrário, apenas o número (que não será negativo) e não o sinal, fará parte da potência.

Na figura, no primeiro caso apenas o 15 esta elevado ao quadrado, então o sinal deve permanecer o que era. No segundo caso, o - 15 está elevado a potência, logo será necessário fazer o jogo de sinal.

EXPOENTE NEGATIVO:

Quando temos expoente negativo, dizemos que temos uma fração inversa. Nesse caso, colocamos o número inteiro sobre uma fração com numerador 1, e assim, o expoente passa a ser positivo.

Exemplo: 2^-3

Ficaria:

Bastando, agora, resolver a potência do denominador.

Mas porque isso acontece?

Relembrando a propriedade das potências (https://blogdescomplicandomatematica.blogspot.com/2020/10/propriedade-das-potencias.html), no qual, na multiplicação de potências de mesma base, repetimos ela, e somamos os expoentes:

2³ x 2² = 2³⁺²= 2⁵

Então, se um desses expoentes fossem negativos e do mesmo valor, teríamos o seguinte:

2²X 2^-2 = 2^2-2 = 2⁰

Lá na postagem sobre as potências dos números naturais (https://didaticursos.blogspot.com/2020/10/potencia-de-numeros-naturais.html) foi demonstrado que todo número com expoente 0 é 1, logo:

2²X 2^-2 = 2^2-2 = 2⁰ = 1

E se fizermos a multiplicação em forma de fração temos:

A potência 2² pode ser reescrito com o 1 como denominador.