Produtos notáveis

Os produtos notáveis são uma forma de simplificar expressões algébricas, sendo elas, multiplicações que geram polinômios como resposta. 

E cuidado! (a+b)² NÃO  é igual à (a²+b²) e, sim, igual à a²+2ab+b².

Mas de onde surgem esses polinômios???

Eles surgem da multiplicação de cada número de dentro de um parênteses por cada número de dentro do outro parênteses (conhecido como chuveirinho pelo formato das setas da multiplicação). Vamos ver um exemplo prático:

(a + b) ² = (a + b) x (a + b):

Observação: o x acima é o simbolo de multiplicação.

Após a multiplicação de cada termo basta realizar os demais cálculos da expressão gerada, conforme demonstrado acima. 

Lembrem-se: a ordem dos fatores não alteram o produto, logo: axb = bxa por isso juntamos axb e bxa gerando como resultado 2ab (uma laranja chamada ab e outra laranja chamada ab é igual a duas laranjas chamadas ab).

Se distribuíssemos o expoente a resposta não seria a mesma, pois:

a² + b² é  diferente de a² +2ab+b² 

Vamos colocar números para comprovar:

2² + 3² = 4 + 9 = 13   é diferente de:

(2 + 3)² = 5² = 25 que é igual a:

2² + 2.2.3 + 3² = 4 + 12 + 9 = 25

O mesmo ocorre se houver subtraçao:

(a-b)² =(a - b) x (a - b)

Lembrando novamente que o x usado é o simbolo de multiplicação.

Logo, a² - b² é diferente de a² -2ab + b² por isso não podemos distribuir o expoente entre os termos. Provando novamente com números:

2²- 3² = 4 - 9 = -5 que é diferente de:

(2 - 3)² = (-1)² = 1 que é igual a:

2² - 2.2.3 + 3² = 4 - 12 + 9 = 1

Uma forma de facilitar a lembrar da resolução de produtos notáveis é com o Triângulo de Pascal.

No Triângulo de Pascal iniciamos sempre com o 1. O segundo termo é a soma do primeiro termo com o segundo da linha de cima e assim sucessivamente (para saber mais acesse : https://blogdescomplicandomatematica.blogspot.com/2021/06/triangulo-de-pascal.html).

Agora, compare o triângulo acima com o abaixo:

As fórmulas para n expoentes dos produtos notáveis podem ser facilmente vista no Triângulo de Pascal, sendo, os números do triângulos os números a serem multiplicados nos termos.

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA:

Nesse caso, basta multiplicarmos todos os termos de dentro do primeiro parênteses por todos os termos do segundo parênteses. Nesse caso, vemos que a resposta será sempre a diferença do quadrado dos termos.

AO CUBO:

Vídeo:

Demonstração click no link abaixo.