Esferas

A esfera é um sólido geometrico de revolução, obtida pela rotação de um semicirculo em seu próprio eixo.

Muitos chamam a esfera de bola. Mas será que são a mesma coisa? Uma esfera é um objeto geométrico com uma superfície fechada. E, essa superfície está a uma distância constante de um ponto fixo, conhecido como centro. Enquanto que uma bola é um objeto com uma forma esférica, frequentemente encontrada na vida cotidiana. Mesmo com muitas variações, uma bola pode manter sua forma esférica.

Então, uma bola pode ser esférica, mas uma esfera não é uma bola para a matemática.

Partes da esfera:

segundo o site: https://www.todamateria.com.br/a-esfera-na-geometria-espacial/

Raio: segmento de reta que liga o centro a um ponto qualquer na superfície.
Diâmetro: Segmento de reta que passa pelo centro, ligando dois pontos na superfície.
Superfície Esférica: corresponde ao conjunto de pontos do espaço onde a distância do centro (O) é equivalente ao raio (R).
Fuso Esférico: é a parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semicircunferência em um ângulo em torno do eixo que contém o diâmetro.

Cunha Esférica: é um sólido, parte do volume da esfera obtido ao girar um semicírculo em torno do eixo que contém o diâmetro.

Calota Esférica: corresponde a parte da esfera (semiesfera) cortada por um plano.

Falaremos mais de cada uma em uma outra postagem.

Com as esferas, podemos realizar os seguintes cálculos:

ÁREA DA ESFERA:

A fórmula para o cálculo de área da esfera é dado por:

A = 4ℼR²

Onde:

R = raio da esfera.

Exemplo de uso:

Qual é a área ocupada por uma esfera de raio igual a 5cm?

A = 4ℼ5²

A = 4 . 3,14 . 25

A = 314cm²

Mas de onde vem a fórmula da área da esfera?

Vamos imaginar uma laranja cortada em aneis:

A largura da desse anel pode ser escrita da seguinte forma:

largura do anel = ao raio da circunferência vezes a variação do ângulo central infinitesimal (infinitamente pequeno), ou melhor:

l = R . d𝚹

Onde:

l = largura do anel

R = raio da circunfência

d𝚹 = variação infinitesimal do ângulo central.

Observe também que o perímetro do anel (formato de circunferência) tem seu raio igual a x:

A fórmula da circunferência é dada por:

C = 2ℼR...

Nesse caso no lugar do R colocaremos X, então:

C = 2ℼx

Notamos na figura a direita um triângulo retângulo entre r e x, então:

R é a hipotenusa e x é o cateto adjacente ao ângulo, então usando trigonometria temos:

Cos 𝚹 = CA/HIP

ou melhor

Cos 𝚹 = X/R

Isolando o X temos:

X = R . COS𝚹

Agora, substituindo na fórmula do perímetro:

C = 2ℼx

C (𝚹) = 2.ℼ.R.COS𝚹

Vejam que agora o perímetro C está em função do ângulo central θ. Então, a área da superfície do anel de largura infinitesimal será dada pelo produto de seu perímetro C por sua altura l:

Como o ângulo θ varia de 0 a π/2, obtemos anéis da esfera somente na parte superior ao eixo dos x, e, conseqüentemente, somente a metade da área de sua superfície. Para encontrar a área total, basta multiplicar por 2. Aplicamos, então, a integral definida:

Fonte: https://www.obaricentrodamente.com/2009/12/demonstracao-formula-da-area-da-esfera.html

VOLUME DA ESFERA:

A fórmula para o cálculo do volume da esfera é dado por:

Onde:

R = raio da esfera.

Exemplo:

Qual é o volume da esfera que tem o raio medindo 5cm?

Mas de onde vem a fórmula de Volume da esfera?

Vamos fatiar nossa esfera:

Lembrando que a área do circulo (corte dasecção da esfera) :

As1 = ℼr²

As2 = ℼR²

Relaçao do triângulo retângulo (Pitágoras) entre r e R:

R² = r² + d²

isolando r²:

r² = R² - d²

Vamos substituir, então na fórmula As1:

As1 = ℼr²

As1 = ℼ(R² - d²)

vamos usar o princípio de Cavalieri:

Observe a figura abaixo:

Temos um cilindro de mesmo raio R que a esfera, e dele 2 cones são formados (clépsidras). O corte da secção de ambos estão na mesma altura.

Observe que se calcularmos a área da região do cilindro que não faz parte do cone (anticlépsidra) teremos a seguinte fórmula:

A = ℼR² - ℼr²

Analisando o cone temos semelhanças de triângulo, onde a altura do cone é igual ao raio dele, se a altura do cone é igual ao raio dele, então a distância d será igual a r.

Podemos reescrever então a fórmula:

A = ℼR² - ℼr²

A = ℼR² - ℼd²

Colocando o pi em evidencia temos:

A = ℼ(R² - d² ) que observe que é a mesma fórmula encontrada na As1 comentada acima. Com isso podemos concluir que o volume da Anticlépsidra é igual ao volume da esfera.

Vamos calculá-la agora:

Considere um cilindro com raio igual ao da esfera e altura igual ao diâmetro da esfera (D = 2R)

Considere dois cones dentro do cilindro, de forma que as bases coincidam com as bases do cilindro:

O sólido compreendido entre os cones e o cilindro é a anticlepsidra:

Clépsidra é relógio de água usado na Antiguidade, que media o tempo pela quantidade de água que se escoava de um vaso, podemos constuir como uma ampulheta.

Logo anticlépsidra é a parte de fora.

O volume do cilindro é igual ao volume da anticlepsidra, então para calcular basta fazer o volume do cilindro menos o volume dos dois cones:

Vesfera = Vcilindro - 2.Vcone

Outra forma de deduzir a fórmula, sendo o site: https://www.obaricentrodamente.com/2009/06/demonstracao-formula-volume-de-esfera.html) é através de integral:

Vamos fatiar a esfera:

Observe que essa fatia é um cilindro e, a fórmula para calcular o volume de um cilindro é:

V = ℼr². h

A altura nesse caso é infinitesimal chamamos de dx, vamos chamar seu raio de y. (Observação: cada fatia da esfera terá um raio diferente, sendo ele, cada vez menor conforme mais próximo da ponta)

Substituindo na fórmula teremos, então:

V = ℼy². dx

Podemos dizer que a esfera é formada por infinitos cilindros de alturas infinitesimais dx, onde seu raio y é variável para cada cilindro.

A soma desses cilindros de alturas infinitesimais é dado pela integral definida: