Pirâmide Regular e Reta

 A pirâmide é um poliedro com apenas uma base tendo, em seu ponto mais alto todas as arestas unidas.

A planificação da pirâmide acontece da seguinte forma:

Quando a base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro desta. Em uma pirâmide regular as arestas laterais são iguais e consequentemente as faces laterais são triângulos isósceles iguais.

Sua base é um polígono e pode ser: triangular, pentagonal, quadrada, retangular, paralelogramo e etc.

As pirâmides são compostas por:

Base: Região plana poligonal em que se sustenta a pirâmide.

Altura (h): Designa a distância do vértice da pirâmide ao plano da base.

Arestas: Segmentos formados pela distância do vértice da pirâmide até sua base.

Apótemas (a): Corresponde à altura de cada face lateral, ou seja, é um segmento que liga o vértice da pirâmide à sua base, fazendo um ângulo de 90º.

Superfície lateral: É a superfície poliédrica composta por todas as faces laterais da pirâmide.

Superfície total: É a superfície composta da área lateral mais a área da base.

As pirâmides são classificadas quanto ao poliedro da base, sendo:

Pirâmide triângular: Base formada por triângulo.

Pirâmide Quadrangular: Base formada por quadrado.

Pirâmide pentagonal: Base formada por pentagono.

Pirâmide hexagonal: Base formada por hexagono

Quanto à inclinação da base, as pirâmides são classificadas de duas maneiras:

Pirâmides Retas, que formam um ângulo de 90º;
Pirâmides Oblíquas, que apresentam ângulos diferentes de 90º.

Nessa postagem abordaremos apenas as pirâmides retas.

Quais são os cálculos que envolvem uma pirâmide reta???

ÁREA LATERAL:

Como ja mencionado, temos a área lateral, que é todo o espaço que a lateral ocupa se aberta.

Observe que as laterais são formadas por triângulos, logo podemos dizer que:

ou

Obsrvação: Caso a base não seja regular, ou seja, todos os lados não possuírem a mesma medida, será necessário calcular cada área e somar depois:

ÁREA TOTAL:

A área total é a soma da área da base com a área lateral, ou seja:

VOLUME:

Observe abaixo:

Observe que se calcularmos a área da base e multiplicar pela altura, temos exatamente o volume ocupado pelo objeto acima.... Essa regra funciona para todos os sólidos, só não funcionam para sólidos pontudos como cones e pirâmides. Mas porque?

Observe pela figura acima que, como a área não é constante o volume se altera  conforme vai chegando ao topo. Porém outra coisa podemos observar na figura. Se traçarmos uma reta no sentido abaixo, teremos as seguintes figuras:

Então, de um sólido paralelepípedo, podemos formar 3 pirâmides, por isso que a fórmula comum de volume (área da base vezes altura) precisa ser dividida por 3 em sólidos pontiagudos.

Com isso a fórmula de volume da pirâmide é:

RELAÇÕES MÉTRICAS:

Temos, ainda algumas relações métricas a se observar em pirâmides regulares, sendo:

Observamos um triângulo retângulo entre a reta h, a e r, logo, podemos dizer que:

a² = h² + r²

onde:

a = apótema

h = altura

r = é a distância do centro da base da pirâmide ao centro da lateral da base.

Podemos encontrar outro triângulo retângulo pela aresta lateral, R e h, então:

Aresta Lateral² = R² + h²

onde:

R = é a distância do centro da base da pirâmide até o vertice da base.

h = altura.

Ainda temos outro triângulo formado pela aresta lateral, apótema e metade da lateral da base, então:

Aresta Lateral² = a² + (l/2)²

onde:

a = apótema

l = lateral da base

vídeo:

atividade geogebra: