Relações métricas dos poliedros regulares - icosaedro regular
O icosaedro regular é um poliedro que possui 20 faces, o que justifica o seu nome (icosa = vinte). Ele possui 20 faces triângulares (triângulo equilátero), 30 arestas e 12 vértices. Na natureza muitos microorganismos possuem a forma de um icosaedro, como o Circogonia icosahedra: Protistas radiolários.
Vamos substituir o l por a de aresta, e multiplicar por 20 pois são 20 faces, então nossa área total do icosaedro é:
onde a é a aresta.
Vamos ver de onde vem essa fórmula:
Agora vamos encontrar o valor de d:
A planificação do dodecaedro regular é conforme figura abaixo:
Lembrando que a planificação é a forma do poliedro aberta, ou seja, como se pegassemos a figura e separassemos face por face. Nesse caso, se a figura acima for cortada a parte externa e dobrada a parte interna, teremos um icosaedro regular.
Vamos aprender os cálculos que envolvem o dodecaedro regular?
Lembrando que a planificação é a forma do poliedro aberta, ou seja, como se pegassemos a figura e separassemos face por face. Nesse caso, se a figura acima for cortada a parte externa e dobrada a parte interna, teremos um icosaedro regular.
Vamos aprender os cálculos que envolvem o dodecaedro regular?
Como ele é composto por 20 faces de triângulo equilátero, vamos rever a fórmula de área do triângulo equilátero:
Como ele é formado por triângulos equilátero, para se aprofundar mais no assunto, recomendo ver o conteúdo de triângulo equilátero:
https://didaticursos.blogspot.com/2021/09/triangulo-equilatero.html#more
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Exemplo:
Qual é a área do icosaedro que tem aresta igual a 10cm?
É possível também calcular o volume desse poliedro. a fórmula para o calculo do volume é:
Exemplo:
Qual é o volume do icosaedro com aresta igual a 10cm?
Podemos cortar nosso icosaedro nas seguintes figuras:
20 tetraedros com altura até o centro do icosaedro. Sabendo disso, vamos calcular nosso volume:
Observe as figuras abaixo:
Observe que o segmento i é o que se repete em ambas as figuras. Esse segmento é a intersecção entre os dois cortes da figura.
Observe que a diagonal d corresponde a duas arestas l do tetraedro. logo l = d/2
Vamos calcular o i para encontrar o valor de d.
Observado o pentagono formado com a reta i, temos:
A linha CB e AD traçadas formam triângulos.
O pentágono tem como laterais a aresta do icosaedro, logo, a linha CO e AO também possuem o tamanho a.
Temos aqui semelhança de triângulos: ABC e ABO. Ambos são isósceles.
Vamos aplicar a proporção para encontrar i:
Sabendo anteriormente que l = d/2, então:
Agora que temos o valor de l, podemos aplicar pitágoras e encontrar a altura do tetraedro h.
Agora só aplicar na fórmula de volume:
Vtetraedro = 1/3 vezes área do triângulo equilátero vezes a altura.
Como ja dissemos, o calculo do volume do icosaedro são o volume de 20 tetraedros não regulares. Então, como temos a fórmula do volume do tetraedro, basta, agora, multiplicar o volume encontrado por vinte.
vídeo:
Atividade geogebra:
