Relações métricas dos poliedros regulares - Dodecaedro regular

O dodecaedro regular é um poliedro que possui 12 faces, o que justifica o seu nome (dodec = doze). Ele é o O mais harmonioso e soberano dos sólidos Platônicos, representando o universo ou o cosmos. Ele é constituído de 12 pentágonos.

A planificação do dodecaedro regular é conforme figura abaixo:

Lembrando que a planificação é a forma do poliedro aberta, ou seja, como se pegassemos a figura e separarmos face por face. Nesse caso, se a figura acima for cortada a parte externa e dobrada a parte interna, teremos um dodecaedro regular.


Vamos aprender os cálculos que envolvem o dodecaedro regular?

Como dissemos o dodecaedro é formado por 12 pentágonos, com isso, para calcular a área total do dodecaedro basta calcularmos a área do pentágono e multiplicar por 12.

A área do pentagono é a seguinte:

Observe que ele é composto por 5 triângulos, a área do triângulo é base x altura dividido por 2.

Substituindo:

b = base é igual ao lado.

h = apótema (a).

A apótema é a medida do centro da figura até o centro de um dos lados.

Então, para calcular a área total podemos usar:

Uma outra fórmula para calcular a bastante usada é: 

onde l é a aresta do dodecaedro 

Exemplo:

Qual é a área total do dodecaedro cuja aresta mede 5cm?

Mas de onde vem essa fórmula?

Observe a figura abaixo:

72º * 5 = 360º

Observe que o pentagrama é formado por 5 triângulos. Vamos encontrar a apótema dele:

Traçando a apótema que é a altura do triângulo temos 2 triângulos retangulos, onde temos o cateto oposto a ele igual a metade de l (l/2) e o cateto adjacente será a apótema. A fórmula de trigonometria que usa cateto oposto e adjacente é a tangente. então:

Olhando a tabela abaixo para encontrar a tg de 36º temos:

Continuando a conta:

Como sabemos que a fórmula da área do triângulo é a (base x altura)/2 e o pentagono é composto por 5 triângulos. montando a fórmula de área do pentagono temos:

Como a área do dodecaedro é composta por 12 faces, basta multiplicar a área do pentágono encontrado acima por 12, então:

Para calcular o volume do dodecaedro regular usamos a seguinte fórmula:

onde l ou s é a aresta do dodecaedro

Exemplo:

Qual é o volume do dodecaedro com aresta igual a 5cm?

Mas de onde vem essa fórmula?

Observe pela figura abaixo que o dodecaedro é formado por um cubo e um solido por cima (que se parece com telhado):

Observe ainda que desse sólido pode ser dividido em um prisma triangular e uma pirâmide de base retangular:

Com essas informações podemos observar que o volume do dodecaedro é calculada pela soma do volume do cubo com o volume da pirãmide retângular multiplicado por 6 e volume do prima triângular multiplicado por 6.

Antes  de encontrar esses volumes, vamos definir a altura h desse solido acima, pois será necessário para calcular a volume do pirâmide e do prisma.

Vimos ja anteriormente que o ângulo A, B, E, C e D é de 108º em cada. Por isso, ao cortar a reta h (altura) dividimos esse ângulo em 54º. Temos ali um triângulo retângulo. 

a aresta é nossa hipotenusa, e o lado é nosso cateto oposto ao 54º. Usando o cateto oposto e hipotenusa podemos aplicar a fórmula do seno para encontrar a relação entre aresta e lado.

Agora, vamos analisar as figuras para encontrarmos a altura h:

Agora podemos ir nas fórmulas de volume.

Os volumes são basicamente calculados por área da base vezes a altura. No caso de um prisma triângular dividimos essa fórmula por 2, pois ele é a metade de um poliedro de um prisma retangular e poliedros pontiagudos como pirâmides e cones é preciso dividir por 3, pois ele representa um terço de u um prisma retangular.

Então para o volume do cubo temos:

Volume da pirâmide retangular:

Volume do prisma triângular:

Agora somando os 3 volumes, não esquecendo de multiplicar 6 ao volume do prisma e da pirâmide, pois o dodecaedro é composto desses 6 topos:

Vídeo:

atividade geogebra: