Relações métricas dos poliedros regulares - Octaedro regular

O octaedro regular é um poliedro que possui 8 faces, o que justifica o seu nome (octa = oito). Pode também ser chamado bipirâmide quadrada. Ele não é um prisma e nem pirâmide.

A planificação do octaedro regular é conforme figura abaixo:

Lembrando que a planificação é a forma do poliedro aberta, ou seja, como se pegassemos a figura e separarmos face por face. Nesse caso, se a figura acima for cortada a parte externa e dobrada a parte interna, teremos um octaedro.


Vamos aprender os cálculos que envolvem o octaedro regular?

Observe a figura abaixo, ela será usada como referencia para entendermos de onde vem as fórmulas:

onde:
a - Aresta.
R - Raio da esfera circunscrita no octaedro que é, também, a metade da altura do octaedro.
2R - Diametro da esfera circunscrita e a altura do octaedro.


Como ele é formado por triângulos equilátero, para se aprofundar mais no assunto, recomendo ver o conteúdo de triângulo equilátero:
https://didaticursos.blogspot.com/2021/09/triangulo-equilatero.html#more


Como a parte central do octaedro é um quadrado, para se aprofundar mais no assunto, recomendo ver o conteúdo de quadrado:
https://didaticursos.blogspot.com/2021/09/quadrados.html

Vamos relembrar a fórmula da área do triângulo equilátero:

Vamos relembrar a fórmula da diagonal do quadrado:

AREA TOTAL (A):

Como o octaedro regular é formado por 8 faces de triângulos equilátero, logo a fórmula para calcular a área total é oito vezes a fórmula da área do triângulo equilátero:

Exemplo:

Qual é a área total de um octaedro regular de 10cm de aresta?

RAIO DA ESFERA CIRCUNSCRITA (R):

Observe que o octaedro é formado por 2 pirâmides de base quadrada coladas uma na outra. Observe que o valor do raio da esfera circunscrita é a metade do valor da diagonal desse quadrado, logo:

Exemplo:

Qual é o valor do raio da esfera circunscrita em um octaedro regular de aresta igual a 10cm?

ALTURA DO OCTAEDRO (2R):

Nesse caso é duas vezes o raio da esfera circunscrita, logo:

Exemplo:

Qual é a altura de um octaedro regular de aresta igual a 10cm?

VOLUME DO OCTAEDRO (V):

Vamos calcular como se tivessemos 2 pirâmides de base quadrada. 

Para calcular qualquer volume de sólido prismático, basta calcularmos a área da base vezes a altura do sólido. No caso, quando temos sólidos pontiagudos, como cones e cilindros, o volume é um terço do sólido prismático, ou seja, é como se, juntando 3 sólidos pontiagudos formamos um sólido prismático.

Sabendo disso... deduzimos que a fórmula para calcular a pirâmide de base quadrada é:

Como o octaedro são 2 pirâmides, vamos multiplicar a fórmula por 2:

Logo, a fórmula de volume do octaedro regular é:

Exemplo:

Qual é o volume de um octaedro regular de 10cm de aresta?

RAIO DA ESFERA INSCRITA (r):

Observe que a parte de baixo do triângulo formado é a metade da aresta e a altura é o R ja calculado acima. o g seria a hipotenusa para ser calculada.

Vamos calcular o g:

Agora podemos fazer a relação de triângulos semelhantes para encontrar o valor de r:

Logo, a fórmula do raio da esfera inscrita é:

Exemplo:

Qual é o valor do raio de uma esfera inscrita em um octaedro regular de aresta igual a 10cm?

vídeo:

Atividade do geogebra: