Relações métricas dos poliedros regulares - Hexaedro regular

O hexaedro regular é um poliedro que possui 6 faces, o que justifica o seu nome (hexa = seis). Todas as suas faces são formadas por quadrados. Ele também é conhecido como cubo, pois todas as arestas possuem o mesmo tamanho.

A planificação do hexaedro regular é conforme figura abaixo:

Lembrando que a planificação é a forma do poliedro aberta, ou seja, como se pegassemos a figura e separarmos face por face. Nesse caso, se a figura acima for cortada a parte externa e dobrada a parte interna, teremos um hexaedro.

Vamos aprender os cálculos que envolvem o hexaedro regular?

Observe a figura abaixo, ela será usada como referencia para entendermos de onde vem as fórmulas:

Para se aprofundar mais, recomendo aprender mais sobre quadrados: https://didaticursos.blogspot.com/2021/09/quadrados.html

As principais fórmulas do quadrado são área e diagonal:

Vamos guardar elas para  usar na sequência.

DIAGONAL DA FACE (d):

A diagonal da face nada mais é do que a diagonal do quadrado, logo a fórmula é a mesma da diagonal deixada acima, apenas no lugar de l (lado) vamos substituir por a (aresta):

Exemplo:

Qual é o valor da diagonal da base de um hexagono regular de aresta igual a 2cm?

ÁREA TOTAL (A):

Para calcular a área total do hexaedro, basta sabermos a área de uma de suas faces (do quadrado) e multiplicar pela quantidade de faces que o Hexaedro possui, no caso 6.

Vimos acima que a fórmula da área do quadrado é:

Vamos trocar o l (lado) por a (aresta):

Agora, basta multiplicar por 6 faces, logo nossa área total é:

Exemplo:

Qual é a área total de um cubo (hexaedro regular) de aresta igual a 2cm?

VOLUME (V):

Para calcular o volume de qualquer poliedro não pontudo (cone e triângulo) basta multiplicar a área da base pela altura do poliedro.

Nesse caso, nossa base é um quadrado, logo a área da base é:

E como dissemos o volume é calculado por essa área da base vezes a altura:

Substituindo a fórmula da base e sabendo que a altura do hexaedro regular (cubo) é igual a aresta, temos:

Multiplicando a² vezes a temos a³ logo a fórmula de volume de um hexaedro regular (cubo) é igual a:

Exemplo:

Qual é o volume de um cubo (hexaedro regular) de aresta igual a 2cm?

V = a³

V = 2³

V = 8cm³

DIAGONAL DO HEXAEDRO (D):

Na figura de referência que temos, observe que a diagonal do cubo, a aresta e a diagonal da base formam um triângulo retângulo:

Observe o triângulo ABC, temos que D é nossa hipotenusa, a e d nossos catetos, aplicando pitágoras temos:

Sabemos a fórmula da diagonal da base:

Vamos substituir na base para que tenhamos a aresta como incognita:

Fazendo as contas temos:

Logo a fórmula da diagonal do cubo é:

Exemplo: 

Qual é o valor da diagonal do cubo que possui aresta igual a 2cm?

Vídeo:

Atividade Geogebra: