Relações métricas dos poliedros regulares - Tetraedro regular
O tetraedro regular é um poliedro que possui 4 faces, o que justifica o seu nome (tetra = quatro). Todas as suas faces são formadas por triângulos. Ele possui formato de uma pirâmide de base triangular e é conhecido como pirâmide de base regular, já que todas as suas faces são congruentes.
Lembrando que a planificação é a forma do poliedro aberta, ou seja, como se pegassemos a figura e separarmos face por face. Nesse caso, se a figura acima for cortada a parte externa e dobrada a parte interna, teremos um tetaedro.
onde:
Logo, a fórmula para calcular a área total de um tetraedro é:
Exemplo:
onde:
VOLUME DO TETRAEDRO (V):
Logo para encontrar o Volume do tetraedro regular, a fórmula será a seguinte:
RAIO DA ESFERA CIRCUNSCRITA AO TETRAEDRO (R):
Podemos colocar uma esfera no interior do tetraedro regular, onde a circunferencia da esfera toque as faces do tetraedro.
Qual seria o raio dessa esfera?
Observe que o centro da esfera inscrita também é o ponto O, e como ja dito anteriormente ele divide a altura na proporção de 3 para 1. como estamos indo agora na direção da base do tetraedro, estamos usando a propoção de 1 das 4 partes em que dividimos a altura, logo a fórmula para calcular o raio da esfera inscrita no tetraedro regular é:
A planificação do tetraedro regular acontece conforme figura abaixo:
Lembrando que a planificação é a forma do poliedro aberta, ou seja, como se pegassemos a figura e separarmos face por face. Nesse caso, se a figura acima for cortada a parte externa e dobrada a parte interna, teremos um tetaedro.
Existem algumas relações nesse poliedro com relação a altura, raio, vertíce, e dentre outros. Vamos conhecer essas relações usando a figura abaixo como referência:
a - Aresta
R - Raio do circulo circunscrito no tetraedro
h - altura do tetraedro.
Para se aprofundar mais no assunto, recomendo ver o conteúdo de triângulo equilátero:
As fórmulas de altura e área do triãngulo equilátero, que é o triângulo que constitui o tetraedro regular, são as seguintes:
Vamos guardar essas fórmulas pois utilizaremos elas.
ÁREA TOTAL (A):
Se a área de uma face do tetraedro é a área na fórmula acima e o tetraedro possui 4 faces, logo, a área total do tetraedo e a área do triângulo equilátero multiplicado por 4:
Qual é a área total de um tetraedro regular de aresta igual a 5cm?
ALTURA DO TETRAEDRO (H):
Para a altura do tetraedro vamos usar Pitágoras. Observe que ao cortar uma linha de altura no tetraedro formamos um triângulo retângulo:
Para saber o Ponto O, ele divide a altura do triângulo da base em razão de 2 para 1, ou seja, dividindo em 3 partes a altura do triângulo da base, 2 partes fazem parte do triângulo retângulo do cálculo, que é o ponto que vai até o vértice, enquanto que o outro lado que usa a metade da aresta do lado oposto fica com 1 parte. Ainda podemos dizer que do ponto O ao vértice do triângulo da base é a altura - a apótema dela:
Vamos encontrar dos dois jeitos:
Primeira forma: 2 partes da altura do triângulo:
Segunda forma: altura menos a apótema
Logo a fórmula da altura do tetraedro é:
H - altura do tetraedro
a - aresta do tetraedro
Exemplo:
Qual é a altura do tetraedro regular cuja a aresta mede 6cm?
VOLUME DO TETRAEDRO (V):
A maioria dos calculos de volume sempre será área de base vezes a altura do poliedro, porém quando falamos de cones e piramides temos que dividir por 3. Pois, a junção de 3 pirâmides ou cones formam um prima:
Então, para descobrir a fórmula temos que usar a área do triângulo equilátero e a altura ja calculada acima:
Exemplo:
Qual é o volume de um tetraedro regular de aresta igual a 3cm?
RAIO DA ESFERA CIRCUNSCRITA AO TETRAEDRO (R):
Podemos colocar uma esfera por fora do tetraedro, onde cada vértice do tetraedo toque essa esfera, nesse caso, temos uma esfera circunscrita ao tetraedro
Qual seria o raio dessa esfera?
Observe que o centro da esfera é o ponto O, e que ele corta exatamente altura do tetraedro em uma proporção de 3 para 1:
Ou seja, se dividirmos a altura do tetraedro H em 4 partes, o ponto O separa de um lado 1 dessas 4 partes e do outro lado 3 dessas 4 partes, logo podemos observar que o Raio é as 3 partes dessa altura do tetraedro, por isso podemos dizer que a fórmula para calcular o Raio da esfera circunscrita será de:
Exemplo:
Calcule o Raio da esfera circunscrita no tetraedro regular que possui uma altura de 8cm.
RAIO DA ESFERA INSCRITO AO TETRAEDRO (r):
Observe que o centro da esfera inscrita também é o ponto O, e como ja dito anteriormente ele divide a altura na proporção de 3 para 1. como estamos indo agora na direção da base do tetraedro, estamos usando a propoção de 1 das 4 partes em que dividimos a altura, logo a fórmula para calcular o raio da esfera inscrita no tetraedro regular é:
Exemplo:
Qual é o raio da esfera isncrita no tetraedro regular de 20cm de altura?
Vídeo
Atividade geogebra:
