Geometria da posição - Posições relativas

 Posições relativas é o estudo das possibilidades de interação entre duas figuras geométricas no espaço em que ocupam.

ENTRE RETA E RETA:

Duas retas podem ser coplanares ou não coplanares

COPLANARES: 

Duas retas são coplanares quando admitem um plano passando peas duas retas, duas retas coplanares podem ser:

Paralelas: Duas retas são paralelas quando não tem ponto em comum. A distância entre as duas retas será sempre a mesma em toda sua extensão.

Retas concidentes: Quando têm todos os pontos em comum, ou seja, quando duas retas formam uma única reta.

É comum encontrar autores que afirmam: duas retas são coincidentes quando possuem dois ou mais pontos em comum. Esse tipo de relação é baseado em um resultado da geometria: se duas retas possuem pelo menos dois pontos em comum, então todos os pontos da primeira são pontos da segunda.

Retas Concorrentes: Quando tem um só ponto em comum. Retas concorrentes formam quatro ângulos, congruentes dois a dois. Quando um deles mede 90°, as retas concorrentes são chamadas de perpendiculares.

NÃO COPLANARES:
Quando não admitem um plano passando pelas duas retas. Nesse caso, as retas não tem ponto em comum e são chamadas reversas.

ENTRE RETA E PLANO:

Uma reta e um plano podem ser:

a) reta contida no plano: Quando tem todos os pontos em comum com o plano.

Se for possível provar que dois pontos de uma reta pertencem também a um plano, então toda a reta será formada por pontos desse plano. Isso é resultado de um dos postulados da Geometria Plana.

r ⊂ 𝞪 ↔ r ∩ 𝞪 = r

b) reta paralela ao plano: Quando não tem plano em comum com o plano, ou seja, quando a reta não toca o plano em nenhum momento.

A propriedade responsável pelo paralelismo entre retas e planos é a seguinte:

Se uma reta r não é secante nem está contida em um plano 𝞪  e, além disso, existe outra reta paralela a ela contida nesse mesmo plano, então, a reta r e o plano 𝞪  são paralelos.

r // 𝞪 ↔ r ∩ 𝞪 = 𝜙

 
c) reta incidente, concorrente ou secante ao plano: Quando só tem um ponto em comum com o plano.

r ∩ 𝞪 = C

Uma condição necessária e suficiente para que uma reta seja paralela a um plano é que ela seja paralela a uma reta do plano e não esteja contida nele.

Uma condição necessária para que uma reta seja perpendicular a um plano é que ela forme ângulo reto com duas retas concorrentes do plano.

ENTRE PLANO E PLANO:

Dois planos podem ser:

a) Paralelos: Quando não tem ponto em comum

𝞪  // 𝞫 ↔ 𝞪  ∩ 𝞫 = 𝜙

b) Coincidentes: Quando tem todos os pontos em comum, ou seja, como se fossem um unico plano.

𝞪  ∩ 𝞫 ↔ 𝞪 ∪  𝞫

c) Incidentes, concorrentes ou secantes: Quando interceptam-se segundo uma reta.

𝞪  ∩ 𝞫  = r

Dois planos são perpendiculares quando a projeção de um plano sobre o outro é uma reta.

Uma condição necessária e suficiene para que dois planos distintos sejam paralelos é que um deles contenha duas retas concorrentes, paralelas ao outro.

Uma condição necessária e suficiente para que dois planos distintos sejam perpendiculares é que um deles contenha uma reta perpendicular ao outro.

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