Triângulo equilatero

 Triângulos equiláteros são aqueles triângulos que possuem todos os lados com a mesma medida. ou seja, equi = igual, latero = lado.

Observe o triângulo abaixo:

Vamos dividir o triângulo pela reta h de modo a obter 2 triângulos retângulos iguais:

Aplicando pitágoras descobrimos a fórmula para calcular a altura (h) do triângulo:

Logo a fórmula para descobrir a altura do triângulo equilátero é:

Exemplo:

Calcule a altura de um triângulo equilátero que possui lado igual a 2cm:

Agora, aplicando a fórmula da altura na formula padrão de área do triângulo, temos:

Logo a fórmula da Área de um triângulo equilátero é: 

Exemplo:

Determine a medida da área de uma região triangular equilátera, com lados medindo 12 metros de comprimento.

Agora Nesse mesmo triângulo, vamos escrever um circulo inscrito nele:

Vamos traçar uma reta do centro do circulo até uma vértice lateral do triângulo:

Observe que assim, temos um triângulo retângulo, tendo um cateto 1/2l e outro o r e o ângulo  oposto a linha r se divide na metade, como o ângulo do triângulo equilátero é sempre 60º, teremos  aqui, 30º.

Temos o cateto oposto, cateto adjacente e um ângulo, podemos aplica a tangente para descobrir a formula do r.

Logo o raio do circulo inscrito no triângulo é calculado por:

onde:

l é o lado do triângulo

r é o raio do circulo inscrito

O apótema do triângulo equilátero  é o segmento que vai de seu centro até o ponto médio de um de seus lados, logo como o centro do círculo inscrito, e circunscrito é o mesmo que o centro do triângulo equilátero, podemos dizer que o raio do triângulo inscrito no triângulo equilátero é a apótema dele.  Podendo ter sua fórmula reescrita como:

onde a = apótema

A apótema é importante para encontrar o centro do triângulo, bem como, quando necessário, calcular o raio do triângulo inscrito.

Exemplo:

Calcule a apótema de um triângulo equilátero que tem lado medindo 3cm.

Agora,  vamos desenhar o circulo circunscrito nele:

Como o triângulo é equilátero o centro dos círculos inscritos e circunscritos são os mesmos.

Note que a hipotenusa do triângulo trabalhado é o raio do circulo circunscrito, como ja sabemos a formula de r, vamos aplicar Pitágoras:

R² = r² + (1/2l)²

Vimos que o r vale:

substituindo teremos:

Logo o raio do circulo circunscrito será de:

Exemplo:

Qual é o valor do Raio do círculo circunscrito em um triângulo equilátero, cujo lado mede 2cm?

Apótema também pode ser calculada através da relação:

apótema = R/2

Lembrando que o raio do circulo inscrito é nossa apótema.

Observando a figura, temos o r sendo cateto oposto ao ângulo de 30º e o R como hipotenusa, logo, a fórmula de seno nos ajudará:

Sen30º = cateto oposto/hipotenusa

tabelado sen 30 = 1/2

1/2 = r/R

isolando o r que é nossa apótema aqui temos:

r = R/2

ou seja:

apótema = R/2

Exemplo:

Qual é o valor da apótema de um triângulo equilátero, no qual o raio do circulo circunscrito nele mede 6cm?

vídeo:

atividade geogebra: