Triângulos - teorema dos ângulos externos

O teorema dos ângulos externos de um triângulo é um teorema de geometria que diz que o ângulo externo de um triângulo é maior que os dois ângulos internos não adjacentes a ele ou ainda que o ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

${\displaystyle d=a+b}$

Existem 2 teoremas que associam o ângulo externo aos ângulos internos adjacentes, porém como se complementam são associadas em uma única regra. As regras distintas são:

- Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.
- Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual a soma dos dois ângulos internos não adjacentes.

Demonstração do teorema:

Uma das demonstrações do teorema parte do seguinte:

Usando a figura acima como referencia, temos que a soma dos ângulos c e d = 180º, então:

c + d = 180

isolando d temos:

d = 180 - c

Temos também o teorema de Tales de que a soma dos ângulos internos = 180º, logo:

a+ b + c = 180º

Podemos isolar o c e teremos:

c = 180º - a - b

Vamos pegar a primeira formula d = 180 - c e substituir o valor de c pela segunda formula, pois 

c = 180º - a - b:

Então teremos:

d = 180 - c

d = 180 - (180 - a - b) (fazendo jogo de sinal com o menos antes dos parênteses)

d = 180 - 180 + a  + b

d = a + b

Assim, temos a comprovação de que a soma dos ângulos adjacente a e b = ao ângulo externo d.

Exemplo de uso:

Qual é o valor de 𝞫?

Sabemos que 𝞫 + 50 = 120

logo isolando 𝞫 teremos:

𝞫 = 120 - 50

𝞫 = 70º

Vídeo:

Atividade geogebra: