Relações métricas fundamentais do triângulo retângulo

 Antes de mais nada, vamos relembrar que triângulo retângulo é o triângulo em que um de seus ângulos possui ângulo reto (90º) composto pelos seguintes elementos:

Sendo:

a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º)
b: cateto 
c: cateto
h: altura relativa à hipotenusa
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa

Partindo da figura acima, observe que temos um triangulo de 90 graus, vou reposicionar a figura para ficar mais claro o ângulo reto caso não tenha sido possível identifica-lo:

Ainda vou retirar os 3 triângulos formados nessa figura para ficar mais claro:

Observe que m é uma projeção de c, assim como, n é uma projeção de b, ou seja, imagina uma luz refletindo em cima do b, e n sendo sua sombra, assim como se estivesse uma luz refletindo em cima de c m sendo a sua sombra.

Vamos lembrar, também, que a soma dos ângulos internos serão sempre 180º, como no triângulo retângulos já temos um ângulo de 90º, a soma dos outros dois ângulos devem dar 90º.

 Pois reparem que no triangulo ABC temos um ângulo reto no ponto A, e outros ângulos no ponto B e C que somados devem ser 90º, ja no triangulo AOB temos o mesmo ângulo do ponto B do triângulo ABC, e ângulo reto no ponto O. Logo o ponto A terá o mesmo ângulo que  ponto C do triângulo ABC para que a soma dos ângulos internos permaneça 180º.

No triângulo AOC temos também que o ângulo do ponto C é o mesmo do ponto C no triângulo ABC, temos o ângulo reto no ângulo O e, nesse caso, para somar 180º o ângulo do ponto A deve ter o mesmo valor do ângulo do ponto B do triângulo ABC.

Assim, percebemos que os triângulos são semelhantes, ou seja, possuem a mesma proporção.

Como os triângulos são semelhantes, possuem as seguintes relações:

Pitágoras onde

a² = b² + c²

você pode conhecer mais sobre essa relação na seguinte postagem: https://didaticursos.blogspot.com/2020/12/teorema-de-pitagoras.html#more

Como quando a reta h (altura) é traçado internamente temos outro triangulo retângulo semelhante ao triângulo ABC. Logo é possível observar a seguinte relação:

Observe que b é o cateto oposto ao ângulo do ponto B do triangulo ABC assim como a reta a é a hipotenusa, já no triangulo ABO temos o h como cateto oposto ao ângulo do ponto B e c como hipotenusa... por isso da relação acima, fazendo a multiplicação cruzada temos:

 b . c = h . a

Outra possível relação observada é:

Observe que dentro do triangulo ABC temos os triângulos AOB e AOC, e como são semelhantes a relação acima é observada onde no triangulo  AOB temos m como cateto oposto ao ângulo do ponto A e h como cateto adjacente ao ângulo do ponto A e no triangulo AOC temos n como cateto adjacente ao ângulo do ponto C (que passa a ser semelhante ao ângulo do ponto A no triângulo AOB)  e h como cateto oposto do ângulo do ponto C... fazendo a multiplicação cruzada da relação acima temos:

h² = m . n

Outra relação possível observada é:

Observe que dentro do triângulo ABC temos a como hipotenusa e b como cateto adjacente ao ângulo do ponto C e no triângulo AOC temos b como hipotenusa e n como cateto adjacente ao ângulo do ponto C... por isso a relação acima.

Agora fazendo a multiplicação cruzada temos:

b² = n. a

Outra relação observada é:

Observe que dentro do triângulo ABC temos c como cateto oposto ao ângulo do ponto C e a como hipotenusa, enquanto que no triangulo AOB temos m como cateto oposto ao ângulo do ponto A (que passa a ser semelhante ao ângulo do ponto C do triângulo ABC) e c como hipotenusa, por isso a relação. Fazendo a multiplicação cruzada temos:

c² = m . a

Ainda temos a relação de que a hipotenusa a = m  + n que são as retas divididas pela reta H.

a = m + n

Uma outra formula que podemos tirar dessa relação é com relação a Pitágoras nos 3 triângulos:

ABC = a² = b² + c²

AOC = b² = n² + h²

AOB = c² = m² + h²

Substituindo b² e c² na formula do triângulo ABC temos:

a² = n² + h² + m² + h²

a² = n² + 2h² + m²

Existe uma outra relação ainda:

Aplicando Pitágoras, temos:

a² = b² + c²

logo isolando o a teremos:

a = √b² + c²

Agora lembrando da seguinte relação:

b . c = a . h 

vamos substituir o valor de a pelo isolado de Pitágoras:

b . c = (√b² + c²) . h

o h que estava multiplicando passa para o outro lado dividindo, logo temos:

Agora vamos tirar a raiz que esta de um lado e passar para o outro como potencia:

que é a mesma coisa que:

Vamos simplificar essa equação dividindo tudo por b²c², logo temos:

Resolvendo teremos:

Lembrando sobre cateto oposto e adjacente:

Aqui observamos de cara que b e c são os catetos pois a reta a esta oposta ao ângulo reto (90º) sendo ela a hipotenusa.

Observe que tendo o ponto A como referencia a reta b esta oposta a ela, logo ela será nosso cateto oposto. Já c é nossa reta vizinha ao ponto A, nossa adjacente, por isso chamamos ela de cateto adjacente ao ângulo do ponto A.

Agora vamos usar outro ponto como referencia:

ainda temos b e c como catetos, e a como hipotenusa.... porém agora a reta c é oposta ao ângulo do ponto B, por isso cateto oposto ao ângulo do ponto B e a reta b passa a ser vizinha ao ponto B ou seja adjacente, sendo o cateto adjacente ao ângulo do ponto B.

vídeo:

Atividade geogebra: