Os 5 postulados de Euclides
Na coleção “Os Elementos”, escrita pelo matemático Euclides, reuniu-se quase todo o conhecimento de Matemática Básica existente (por volta de 300 a.C), em 13 volumes. Foram dispostos axiomas, postulados e proposições deduzidas através de encadeamento lógico-dedutivo, ou seja, o mais complexo partindo do mais simples.
Na geometria hiperbólica, os ângulos dos triângulos somam menos de 180 graus. E na elíptica eles somam mais de 180.
- I: Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer
dois pontos.
- II: Pode-se continuar (de uma maneira única)
qualquer reta finita continuamente em uma reta.
- III: Pode-se traçar um círculo com qualquer centro
e com qualquer raio.
- IV: Todos os ângulos retos são iguais.
- V: Se uma reta, ao cortar outras duas, forma
ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do
que dois ângulos retos, então estas duas retas
encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma
é menor do que dois ângulos retos.
Só o fato de este postulado ter sido escrito de forma tão complicada na época já levanta dúvidas. Alguns matemáticos pensaram que esse postulado não era tão óbvio. O que eles fizeram foi "remover" para funcionar sem ele, considerá-lo falso ou trocá-lo por outro. Suas intenções eram: demonstrar o quinto postulado dos outros quatro ou chegar a uma contradição para assegurar sua falsidade. A surpresa foi que não conseguiram nem um nem outro. Assim, eliminaram ou alteraram o quinto postulado e obtiveram uma geometria diferente e consistente (sem contradições). Uma grande surpresa para todos! Dentre essas geometrias (chamadas não euclidianas) destacam-se a hiperbólica e a elíptica. A aparência dos triângulos nessas geometrias são as seguintes:
Na geometria hiperbólica, os ângulos dos triângulos somam menos de 180 graus. E na elíptica eles somam mais de 180.
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atividade geogebra:
