Triângulo de Pascal - calculando raízes quadradas, cúbicas, quárticas e etc.
Estudando triângulo de Pascal e vendo que na matemática antiga, ele era usado para cálculos de raízes quadradas, cubicas e entre outras... fiquei muito curiosa e resolvi buscar como eram feitos esses cálculos:
O calculo era realizado usando a expansão dos binomios para polinômios, da seguinte maneira:
( a + b ) ²Procurava-se no triangulo de Pascal a expansão dele na linha do seu expoente (conforme visto no binômio de Newton: https://didaticursos.blogspot.com/2021/06/binomio-de-newton.html)
= a² + 2 a b + b²
Se mantermos o a² + e isolarmos o b da expressão 2ab + b² (pois o b é o elemento comum entre eles), teremos:
= a² + b ( 2 a + b)
( a + b )³
( a + b )³
Buscando no triangulo de Pascal a expansão polinomial temos:
= a³ + 3 a² b + 3 a b² + b³
Se mantermos o a³ + e isolarmos o b da expressão 3a²b + 3ab² + b³ (pois o b é o elemento comum entre eles), teremos:
= a³ + b ( 3 a² + 3 a b + b² )
Uma raiz matemática é formada pelos seguintes componentes:
Logo, se Y for substituído por (a + b):
Vamos usar como exemplo ⎷121:
Se pensarmos na dezena que multiplica por ela mesma e chega o mais perto de 121 temos:
10 = 10 x 10 = 100
ja 20 passa:
20 x 20 = 400
Então vamos usar o 10 como base para o valor de a, agora precisamos encontrar o valor para b que somados com a nos gere o valor da raiz de X (121).
Como estamos lidando com uma raíz quadrada o valor de n seria 2. logo temos:
( a + b ) ² = a² + 2 a b + b² = a² + b ( 2 a + b)
usando a ultima forma vamos montar que:
X = a² + b ( 2 a + b)
vamos isolar b para ser encontrado:
Agora substituir os valores:
O b da forma será o valor de b anterior da tabela:
Observe o b que iguala é o valor do b da fórmula + 1.
Agora, vamos testar valores para b, iniciando de b = 0 até repetições, logo:
Se aplicarmos b0 = 0 na formula b1 = 1,05
Se aplicarmos b1 = 1,05 na formula b2 = 0,9976247031
Se aplicarmos b2 = 0,9976247031 na formula b3 = 1,0001131222
Se aplicarmos b3 = 1,0001131222 na formula b4 = 0,9999946133
Se aplicarmos b4 = 0,9999946133 na formula b5 = 1,0000002565
Se aplicarmos b5 = 1,0000002565 na formula b6 = 0,9999999878
Se aplicarmos b6 = 0,9999999878 na formula b7 = 1,0000000006
Se aplicarmos b7 = 1,0000000006 na formula b8 = 1
Se aplicarmos b8 = 1 na formula b9 = 1
Se aplicarmos b9 = 1 na formula b10 = 1
A partir daqui todo o calculo ficará 1 pois entrará num looping.
Isto significa que nosso valor para b será 1.
Logo b = 1
então incialmente:
⎷x = a + b
⎷121 = 10 + 1
⎷121 = 11
Não é muito prático, talvez o método por fatoração seja mais fácil, não é????
Vamos a outro exemplo:
Temos uma área quadrada de 55 225 m². Qual é o valor do lado do quadrado?⎷55225
se multiplicamos 200 x 200 -= 40000
300 x 300 = 90000
logo usaremos a = 200
Como é raiz quadrada usaremos
( a + b ) ² = a² + 2 a b + b² = a² + b ( 2 a + b)
logo a fórmula ficará:
Vamos então substituir os valores:
montando a tabela teremos:
Se aplicarmos b0 = 0 na formula b1 = 38,0625
Se aplicarmos b1 = 38,0625 na formula b2 = 34,7553145955
Se aplicarmos b2 = 34,7553145955 na formula b3 = 35,0196984117
Se aplicarmos b3 = 35,0196984117 na formula b4 = 34,9984151421
Se aplicarmos b4 = 34,9984151421 na formula b5 = 35,0001275178
Se aplicarmos b5 = 35,0001275178 na formula b6 = 34,99998974
Se aplicarmos b6 = 34,99998974 na formula b7 = 35,0000008255
Se aplicarmos b7 = 35,0000008255 na formula b8 = 34,9999999336
Se aplicarmos b8 = 34,9999999336 na formula b9 = 35,0000000053
Se aplicarmos b9 = 35,0000000053 na formula b10 = 34,9999999996
Se aplicarmos b10 = 34,9999999996 na formula b11 = 35
Se aplicarmos b11 = 35 na formula b12 = 35
Logo b = 35, então:
⎷55225 = a + b
⎷55225 = 200+ 35
⎷55225 = 235
Outro exemplo:
⎷51
como ele não é uma raiz exata, vamos buscar a aproximação
7 x 7 = 49
8 x 8 = 64
Vamos usar a = 7.
Como é raiz quadrada, o binômio usado será:
( a + b ) ² = a² + 2 a b + b² = a² + b ( 2 a + b)
logo:
Se aplicarmos b0 = 0 na formula b1 = 0,1428571429
Se aplicarmos b1 = 0,1428571429 na formula b2 = 0,1414141414
Se aplicarmos b2 = 0,1414141414 na formula b3 = 0,1414285714
Se aplicarmos b3 = 0,1414285714 na formula b4 = 0,1414284271
Se aplicarmos b4 = 0,1414284271 na formula b5 = 0,1414284286
Se aplicarmos b5 = 0,1414284286 na formula b6 = 0,1414284285
Se aplicarmos b6 = 0,1414284285 na formula b7 = 0,1414284285
Se aplicarmos b7 = 0,1414284285 na formula b8 = 0,1414284285
Logo b = 0,1414284285, então:
⎷51 = a + b
⎷51 = 7 + 0,1414284285
⎷51 = 7,1414284285
Conferindo em calculadoras, vocês podem perceber que os resultados conferem.
vídeo:
