Curiosidades sobre Triângulo de Pascal
A denominação desse triângulo varia muito ao longo do mundo. Os franceses o chamem triângulo de Pascal, os chineses chamam-no de triângulo de Yang Hui, os italianos chamam-no de triângulo de Tarataglia e encontramos outras denominações como triângulo de Tartaglia-Pascal ou simplesmente triângulo aritmético ou triângulo combinatório.
As ideias sobre o triângulo aritmético foram redescobertas e introduzidas várias vezes e em todos os locais onde se estudou ou estuda Matemática.
Só com Pingala 200 aC - quase 2 000 anos de Pascal - é que encontramos o triângulo aritmético, apesar de já existirem livros com algumas regras ( sutras ) para o cálculo de combinatória e arranjos.
O envolvimento de Pingala com o triângulo resultou do estudo de métricas musicais na versificação. Com efeito, ele observou que a expansão de, sucessivamente, métricas de uma, duas, três ... sílabas podia ser disposta sob a forma de um padrão numérico triangular que corresponde ao triângulo aritmético o qual denominou meruprastara, em homenagem ao sagrado Monte Meru.
Para classificar, observemos um exemplo numérico:
Para calcular as combinações das três sílabas ba, be, bi ele ia até à quarta linha do meruprastar, 1 3 3 1, e então concluia:
3 combinações de uma sílaba: ba, be, bi
3 combinações de duas sílabas: babe, babi, bebi
1 combinação de três sílabas: babebi
Para construir o triângulo, Pingala descreve a seguinte regra:
Desenhe um quadradinho; abaixo dele desenho dois outros, de modo que se juntem no ponto médio da base dele; abaixo desses dois, desenhe outros três e assim por diante. A seguir, escreve 1 no primeiro quadradinho e nos da segunda linha. Na terceira linha escreva 1 nos quadradinhos dos extremos , e no meio escreva a soma dos números acima dele. Prossiga fazendo o mesmo nas demais linhas. Nessas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba; a terceira dá as combinações com duas sílabas e assim por diante.
Muitos séculos depois de Pingala, no livro de Halayudha ainda encontramos o merupratara e regra de Pingala.
Os antigos chineses usavam o triângulo aritmético essencialmente no cálculo aproximado de raízes quadradas, cúbicas, ...
Não possuindo uma álgebra literal todo o seu tratamento de problemas algébricos era baseado numa notação e procedimentos apropriados para o emprego de varetas de cálculo (instrumento que precedeu o conhecimento suan pan, o ábaco chinês).
Um dos livros chineses mais antigos, o Jiuzhang Suanshu, escrito cerca de 100 aC possui um capítulo dedicado ao ensino de procedimentos de extração de raízes quadradas e cúbicas. Esses procedimentos são baseados nas identidades:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² +b³ = a³ + b (3a² + 3ab + b²)
Um dos procedimentos de cálculo é exatamente o seguinte:
No caso de N = 51, tomando a = 7, obtemos:
n bn
0 0
1 0,142 857 143
2 0,141 414 141
3 0,141 428 571
4 0,141 428 427
5 0,141 428 429
6 0,141 428 429
De modo que a raiz quadrada de 51 vale 7,141 428 429 ..., com erro na nona casa decimal.
Temos uma área quadrada de 55225 m². Qual é o valor do lado do quadrado?
Se aplicarmos o método que descrevemos inicialmente, tomando a=200, ficamos com a iteração
bn+1 = 15225 / (400+bn)
que, a partir da clássica semente bo=0, produz as sucessivas aproximações 38, 34, 35, 35, 35, etc, ou seja. o valor exato do lado pedido é: 200+35=235 m²!
Para conhecer mais sobre esses cálculos acesse a pagina: https://didaticursos.blogspot.com/2021/06/triangulo-de-pascal-calculando-raizes.html
O documento chinês mais antigo que temos e que traz o triângulo é o Manual de Matemática de Jia Xian, c. 1050 dC.
Triângulo de Yang Hui
O mais famoso matemático chinês associado ao triângulo aritmético foi Yang Hui c. 1250 d.C. Ele escreveu cerca de dez livros, sendo que em ao menos dois desses (Alfa e ômega de uma seleção de aplicações de métodos aritméticos e o Uma análise detalhada dos métodos do livro " Nove capítulos") ele estuda e aplica o triângulo aritmético.
Também é importante mencionarmos o livro Precioso espelho dos quatro elementos, escrito c. 1300 dC por Zhu Shijie. Este livro traz figuras de triângulos com até nove linhas e o seu autor domina-os diagramas do método antigo para calcular grandes potências.
A reconstituição do início do envolvimento dos matemáticos de religião islâmica com o triângulo aritmético é difícil pois que os principais documentos associados perderam-se na noite dos tempos. Contudo é razoavelmente garantido podermos afirmar que, a maioria dos islamitas aprenderam o triângulo aritmético através de compilações escritas em árabe de livros indianos, como é o caso do Princípios do Cálculo Hindu, escrito por al Jili c. 1000 dC, e o Coisas suficientes para entender o Cálculo Hindu, por al Nasawi, também em c. 1000 dC.
Segundo grandes especialistas em história da matemática islâmita, Roshdi Rashed e Adel Anbouba, o triângulo teria sido descoberto para obter o desenvolvimento de potências quadrática, cúbica e quártica de binómios nos seus tratados de álgebra: o al Fakhri e o al Badi.
Outro grande matemático islamita a envolver-se com o triângulo aritmético foi o famoso poeta e matemático persa Umar al-Khayyami c. 1151 d.C. No seu Tratado de demonstrações de problemas de Álgebra e Almuqabala, ele refere que escreveu um livro sobre o triângulo aritmético e a sua aplicação na extracção aproximada de raízes quadradas, cúbicas,... (hoje totalmente perdido).
Na mesma época um outro matemático islamita, al Samaw'al, teve um grande envolvimento com o triângulo. Aos 19 anos escreveu um tratado de álgebra onde corrigiu e expandiu o trabalho de al Karaji sobre o triângulo e o binómio de Newton; no seu livro é possível observar-se uma figura do triângulo com 12 linhas, e a demonstração por indução matemática da validade do binómio de Newton.
Foram muitos os matemáticos que, um século antes de Pascal, trabalharam com o triângulo aritmético.
O mais antigo parece ter sido Apianus, matemático alemão. Publicou em 1527 um livro intitulado: Rechnung (Cálculo) cuja capa era o triângulo. No entanto o alemão que mais divulgou o triângulo aritmético foi Stifel, principalmente através da Arithmetica Integra em 1544.
Pouco depois dos alemães, alguns matemáticos italianos redescobriram o triângulo. Tartaglia foi o que mais se dedicou a ele dando-lhe extrema importância em General Tratado di numeri et misure no ano de 1556. Após este matemático, também outros se dedicaram ao tema como Cardan, Bombelli.
De entre os franceses o que mais divulgou o triângulo antes de Pascal foi Peletier, através da sua Arithmétique, sendo a sua primeira edição em 1549. Também Girard (1629), Mersenne (1636) e outros conheciam este triângulo.
As ideias sobre o triângulo aritmético foram redescobertas e introduzidas várias vezes e em todos os locais onde se estudou ou estuda Matemática.
Só com Pingala 200 aC - quase 2 000 anos de Pascal - é que encontramos o triângulo aritmético, apesar de já existirem livros com algumas regras ( sutras ) para o cálculo de combinatória e arranjos.
O envolvimento de Pingala com o triângulo resultou do estudo de métricas musicais na versificação. Com efeito, ele observou que a expansão de, sucessivamente, métricas de uma, duas, três ... sílabas podia ser disposta sob a forma de um padrão numérico triangular que corresponde ao triângulo aritmético o qual denominou meruprastara, em homenagem ao sagrado Monte Meru.
Para classificar, observemos um exemplo numérico:
Para calcular as combinações das três sílabas ba, be, bi ele ia até à quarta linha do meruprastar, 1 3 3 1, e então concluia:
3 combinações de uma sílaba: ba, be, bi
3 combinações de duas sílabas: babe, babi, bebi
1 combinação de três sílabas: babebi
Para construir o triângulo, Pingala descreve a seguinte regra:
Desenhe um quadradinho; abaixo dele desenho dois outros, de modo que se juntem no ponto médio da base dele; abaixo desses dois, desenhe outros três e assim por diante. A seguir, escreve 1 no primeiro quadradinho e nos da segunda linha. Na terceira linha escreva 1 nos quadradinhos dos extremos , e no meio escreva a soma dos números acima dele. Prossiga fazendo o mesmo nas demais linhas. Nessas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba; a terceira dá as combinações com duas sílabas e assim por diante.
Muitos séculos depois de Pingala, no livro de Halayudha ainda encontramos o merupratara e regra de Pingala.
Os antigos chineses usavam o triângulo aritmético essencialmente no cálculo aproximado de raízes quadradas, cúbicas, ...
Não possuindo uma álgebra literal todo o seu tratamento de problemas algébricos era baseado numa notação e procedimentos apropriados para o emprego de varetas de cálculo (instrumento que precedeu o conhecimento suan pan, o ábaco chinês).
Um dos livros chineses mais antigos, o Jiuzhang Suanshu, escrito cerca de 100 aC possui um capítulo dedicado ao ensino de procedimentos de extração de raízes quadradas e cúbicas. Esses procedimentos são baseados nas identidades:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
= a² + b (2a + b)
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² +b³ = a³ + b (3a² + 3ab + b²)
Um dos procedimentos de cálculo é exatamente o seguinte:
Vamos usar como exemplo, o cálculo de raiz quadrada de N=51.
O procedimento buscará escrever a tal raiz quadrada como a+b, de modo que
N = (a+b)2 = a2 + b (2a+b)
A obtenção de a é fácil: basta acharmos um valor a que a2 seja menor ou igual a N=51; a seguir obtemos o valor de b como o limite da sequência de aproximações que parte de bo= 0 e sucessivamente calcula b1, b2, etc... (geradas por interação).
No caso de N = 51, tomando a = 7, obtemos:
n bn
0 0
1 0,142 857 143
2 0,141 414 141
3 0,141 428 571
4 0,141 428 427
5 0,141 428 429
6 0,141 428 429
De modo que a raiz quadrada de 51 vale 7,141 428 429 ..., com erro na nona casa decimal.
Outro exemplo, de quando ele é aplicado na resolução de problemas que têm a seguinte estrutura:
Temos uma área quadrada de 55225 m². Qual é o valor do lado do quadrado?
Se aplicarmos o método que descrevemos inicialmente, tomando a=200, ficamos com a iteração
bn+1 = 15225 / (400+bn)
que, a partir da clássica semente bo=0, produz as sucessivas aproximações 38, 34, 35, 35, 35, etc, ou seja. o valor exato do lado pedido é: 200+35=235 m²!
Para conhecer mais sobre esses cálculos acesse a pagina: https://didaticursos.blogspot.com/2021/06/triangulo-de-pascal-calculando-raizes.html
O documento chinês mais antigo que temos e que traz o triângulo é o Manual de Matemática de Jia Xian, c. 1050 dC.
Triângulo de Yang Hui
O mais famoso matemático chinês associado ao triângulo aritmético foi Yang Hui c. 1250 d.C. Ele escreveu cerca de dez livros, sendo que em ao menos dois desses (Alfa e ômega de uma seleção de aplicações de métodos aritméticos e o Uma análise detalhada dos métodos do livro " Nove capítulos") ele estuda e aplica o triângulo aritmético.
Também é importante mencionarmos o livro Precioso espelho dos quatro elementos, escrito c. 1300 dC por Zhu Shijie. Este livro traz figuras de triângulos com até nove linhas e o seu autor domina-os diagramas do método antigo para calcular grandes potências.
A reconstituição do início do envolvimento dos matemáticos de religião islâmica com o triângulo aritmético é difícil pois que os principais documentos associados perderam-se na noite dos tempos. Contudo é razoavelmente garantido podermos afirmar que, a maioria dos islamitas aprenderam o triângulo aritmético através de compilações escritas em árabe de livros indianos, como é o caso do Princípios do Cálculo Hindu, escrito por al Jili c. 1000 dC, e o Coisas suficientes para entender o Cálculo Hindu, por al Nasawi, também em c. 1000 dC.
Segundo grandes especialistas em história da matemática islâmita, Roshdi Rashed e Adel Anbouba, o triângulo teria sido descoberto para obter o desenvolvimento de potências quadrática, cúbica e quártica de binómios nos seus tratados de álgebra: o al Fakhri e o al Badi.
Outro grande matemático islamita a envolver-se com o triângulo aritmético foi o famoso poeta e matemático persa Umar al-Khayyami c. 1151 d.C. No seu Tratado de demonstrações de problemas de Álgebra e Almuqabala, ele refere que escreveu um livro sobre o triângulo aritmético e a sua aplicação na extracção aproximada de raízes quadradas, cúbicas,... (hoje totalmente perdido).
Na mesma época um outro matemático islamita, al Samaw'al, teve um grande envolvimento com o triângulo. Aos 19 anos escreveu um tratado de álgebra onde corrigiu e expandiu o trabalho de al Karaji sobre o triângulo e o binómio de Newton; no seu livro é possível observar-se uma figura do triângulo com 12 linhas, e a demonstração por indução matemática da validade do binómio de Newton.
Foram muitos os matemáticos que, um século antes de Pascal, trabalharam com o triângulo aritmético.
O mais antigo parece ter sido Apianus, matemático alemão. Publicou em 1527 um livro intitulado: Rechnung (Cálculo) cuja capa era o triângulo. No entanto o alemão que mais divulgou o triângulo aritmético foi Stifel, principalmente através da Arithmetica Integra em 1544.
Pouco depois dos alemães, alguns matemáticos italianos redescobriram o triângulo. Tartaglia foi o que mais se dedicou a ele dando-lhe extrema importância em General Tratado di numeri et misure no ano de 1556. Após este matemático, também outros se dedicaram ao tema como Cardan, Bombelli.
De entre os franceses o que mais divulgou o triângulo antes de Pascal foi Peletier, através da sua Arithmétique, sendo a sua primeira edição em 1549. Também Girard (1629), Mersenne (1636) e outros conheciam este triângulo.
Para conhecer mais sobre o triângulo de Pascal acesse:
