Princípio fundamental da contagem
O princípio fundamental da contagem é utilizado para encontrar o número de possibilidades para um evento constituído de n etapas, ou seja, é uma técnica para calcularmos de quantas maneiras decisões podem combinar-se.
É o principal conceito ensinado na análise combinatória. É a partir dele que se desenvolveram os demais conceitos dessa área e as fórmulas de fatorial, combinação, arranjo, permutação. Entender esse princípio é essencial para compreender situações que envolvem contagem.
Exemplo:
Exemplo 2:
Ele pode ser aplicado, por exemplo, em várias decisões da informática. Um exemplo são as senhas que exigem o uso de pelo menos um símbolo, o que faz com que o número de combinações possíveis seja muito maior, deixando o sistema mais seguro.
Outra aplicação é no estudo das probabilidades. Para calculá-las, precisamos saber a quantidade de casos possíveis e a quantidade de casos favoráveis. A contagem dessa quantidade de casos possíveis e favoráveis pode ser feita por meio do princípio fundamental da contagem.
É o principal conceito ensinado na análise combinatória. É a partir dele que se desenvolveram os demais conceitos dessa área e as fórmulas de fatorial, combinação, arranjo, permutação. Entender esse princípio é essencial para compreender situações que envolvem contagem.
Existem os seguintes princípios:
- Aditivo: Se um evento pode ocorrer por m ou n maneiras distintas e independentes entre si. Para a ocorrência desse evento, o número total de possibilidades é: m + n.
Exemplo 1:
Suponha que você tenha 3 conjuntos disjuntos (conjuntos que não tem elementos comuns), um conjunto A com 5 elementos, um conjunto B com 4 elementos e um conjunto C com 3 elementos.
Logo, existem 5 possibilidades de escolher um elemento do conjunto A, 4 possibilidades para escolher um elemento do conjunto B e 3 possibilidades para escolher um elemento do conjunto C. Sendo assim, se somarmos 4 + 5 + 3 = 12 teremos 12 modos diferentes de fazer uma escolha.
Exemplo 2:
Uma lanchonete tem 3 tipos de sanduiches e 4 tipos de pasteis, de quantas maneiras uma pessoa pode comer um sanduiche OU um pastel?
Perceba que é usado quando temos escolha entre um ou outro, ou seja, quando fica identificado o elemento conectivo ou entre as etapas do processo.
- Multiplicativo: Se um evento é divido em duas etapas, em que, para realizar a 1º etapa existem m maneiras e para realizar a segunda etapa n maneiras, então o número total de possibilidades de ocorrência desse evento é: m * n.
Uma lanchonete tem 3 tipos de sanduiches e 4 tipos de pasteis, de quantas maneiras uma pessoa pode comer um sanduiche E um pastel?
Perceba que é usado quando temos que escolher um e outro, ou seja, quando fica identificado o elemento conectivo e entre as etapas do processo.
Quando é aplicada o princípio fundamental da contagem?
Outra aplicação é no estudo das probabilidades. Para calculá-las, precisamos saber a quantidade de casos possíveis e a quantidade de casos favoráveis. A contagem dessa quantidade de casos possíveis e favoráveis pode ser feita por meio do princípio fundamental da contagem.
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