Combinação
É bastante comum ver situações em que utilizamos a combinação, por exemplo, para calcular todos os resultados possíveis em jogos de loteria ou em jogos de poker, e em outras situações, como no estudo da probabilidade e da estatística.
Combinação é uma forma de agrupamento de elementos distintos onde apenas a natureza dos elementos identifica cada grupo, ou seja, diferente do Arranjo, na combinação a ordem dos elementos não importa.
É importante enfatizar que nos problemas que envolvem a ferramenta da combinação a ordem dos termos agrupados não importa, uma vez que um subconjunto A será igual a um outro subconjunto B se seus respectivos elementos forem os mesmos.
ou ainda podemos fazer pela formula:
Logo, teremos 45 subconjuntos, ou seja, 45 jogos nesse torneio.
Portanto, para se descobrir quantas combinações existem com p elementos de
é preciso primeiro descobrir quantos arranjos de p elementos de 
existem.
Como nas combinações a ordem dos elementos não importa, e no arranjo, importa, é natural que haja mais arranjos que combinações. Dessa forma, um grande número de arranjos diferentes podem corresponder a uma mesma combinação. Todas as combinações são repetidas o mesmo número de vezes. Para que se possam eliminar essas repetições, é preciso primeiro determinar quantas existem: o número de vezes que cada combinação se repete. Isso se faz descobrindo de quantas formas foram dispostos os p elementos arranjados, ou seja, determinando de quantas formas diferentes os p elementos podem ser arranjados.
Sabendo o número de arranjos possíveis com p elementos de e o número de vezes que cada combinação com p elementos de se repete dentro desse número de arranjos, é possível determinar o número de combinações possíveis, dividindo o número de arranjos pelo número de repetições.
Simplificando essa expressão, é obtida a fórmula da combinação:
Dado um conjunto com n elementos tomados de p a p, para calcular a quantidade de combinações com repetição, utilizamos a seguinte fórmula:
CR → combinação com repetição.
Existe outra fórmula para a combinação com repetição que a relaciona com uma combinação simples:
Atividade geogebra:
Combinação é uma forma de agrupamento de elementos distintos onde apenas a natureza dos elementos identifica cada grupo, ou seja, diferente do Arranjo, na combinação a ordem dos elementos não importa.
Existem 2 tipos de combinações: A simples e a com repetição (também chamadas de combinações completas).
Combinação Simples:
O número de combinações simples de n elementos tomados p a p é dado por:
Observe que a combinação simples nada mais é do que o calculo do Arranjo dividido pela quantidade de posições que o grupo pede.
Exemplo:
Uma escola quer organizar um torneio esportivo com 10 equipes, de forma que cada equipe jogue exatamente uma vez com cada uma das outras. Quantos jogos terá o torneio?
Resolução:
Considere E = {E1, E2, E3, … , E10} o conjunto dos times do referido torneio. Note que, resolver esse problema é determinar o número de subconjuntos com dois elementos que podemos formar, a partir dos elementos do conjunto E. Teremos, portanto:
Exemplo:
Uma escola quer organizar um torneio esportivo com 10 equipes, de forma que cada equipe jogue exatamente uma vez com cada uma das outras. Quantos jogos terá o torneio?
Resolução:
Considere E = {E1, E2, E3, … , E10} o conjunto dos times do referido torneio. Note que, resolver esse problema é determinar o número de subconjuntos com dois elementos que podemos formar, a partir dos elementos do conjunto E. Teremos, portanto:
p = 2 (2 elementos jogando) n = 10 (10 equipes)
observe que se montarmos as casinhas, temos que na primeira posição temos 10 opções de grupo e, como não podemos repetir equipe, na segunda posição temos 9 posições:
Aqui fazendo a multiplicação temos 90 possibilidades, porém, como se formamos grupos com o time E1 x E2 e E2 X E1 por exemplo significa termos o mesmo jogo, ou seja, a ordem não importa, pois resultará num mesmo grupo, temos a famosa combinação. então desses 90 temos que tirar essas repetições que é o fatorial da quantidade de posições existentes:
Logo, teremos 45 subconjuntos, ou seja, 45 jogos nesse torneio.
DEDUÇÃO DA FORMULA:
O processo de dedução exige um conhecimento prévio sobre arranjos e análise combinatória. Em um arranjo, a ordem na qual os elementos são dispostos é levada em conta, enquanto na combinação, a ordem na qual são dispostos não interfere no resultado.Portanto, para se descobrir quantas combinações existem com p elementos de
é preciso primeiro descobrir quantos arranjos de p elementos de existem.
Como nas combinações a ordem dos elementos não importa, e no arranjo, importa, é natural que haja mais arranjos que combinações. Dessa forma, um grande número de arranjos diferentes podem corresponder a uma mesma combinação. Todas as combinações são repetidas o mesmo número de vezes. Para que se possam eliminar essas repetições, é preciso primeiro determinar quantas existem: o número de vezes que cada combinação se repete. Isso se faz descobrindo de quantas formas foram dispostos os p elementos arranjados, ou seja, determinando de quantas formas diferentes os p elementos podem ser arranjados.
Sabendo o número de arranjos possíveis com p elementos de
e o número de vezes que cada combinação com p elementos de se repete dentro desse número de arranjos, é possível determinar o número de combinações possíveis, dividindo o número de arranjos pelo número de repetições.
Simplificando essa expressão, é obtida a fórmula da combinação:
Combinação com repetição:
Dado um conjunto com n elementos, vamos contar a quantidade de agrupamentos não ordenados que podemos formar escolhendo p elementos dentre esses n elementos, sabendo que um mesmo elemento pode ser escolhido mais de uma vez.
CR → combinação com repetição.
Existe outra fórmula para a combinação com repetição que a relaciona com uma combinação simples:
Exemplo:
Uma lanchonete oferece 4 tipos de salgados. Qual é o número de maneiras que um cliente pode escolher 6 salgados?Nesse caso, a ordem não é importante, o que faz com que esse seja um problema de combinação. Além disso, não há restrição quanto a repetições, pois estamos resolvendo uma combinação com repetição. Aplicando a fórmula, temos que:
n → 4
p → 6
n → 4
p → 6
Diferença arranjo, combinação e permutação:
vídeo:
Atividade geogebra:
