Arranjos

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Os arranjos são os agrupamentos nos quais a ordem de seus elementos faz diferença. Ou seja, mesmo que os elementos de dois arranjos sejam os mesmos, esses arranjos podem ser diferentes.
Por exemplo: os números de três algarismos formados pelos elementos (1, 2, 3 e 4) são: 123, 132, 421, 423, 342, e assim por diante. Cada um desses números é um arranjo diferente dos elementos (1, 2, 3 e 4).




Os Arranjos podem ser do tipo simples, com repetição ou condicional:

Arranjo simples: 

É uma forma de agrupamento de elementos distintos, ou seja, não ocorre repetição, onde a ordem e/ou natureza dos elementos identificam cada grupo.
O número de arranjos simples de n elementos distintos tomados p a p é dado por:


Exemplo:
Um cadeado possui 3 rodelas numeradas de 0 a 9. Quantas combinações com 3 algarismos diferentes existem?
Observe que pede a combinação de 3 algarismos diferentes, ou seja, não podem se repetir... e como temos as opções de algarismos de 0 a 9 temos 10 opções (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

logo temos 3 posições:

____   ____   ____

e na primeira posição temos 10 opções de números, como não podemos repetir, o numero que sai na primeira posição não pode ser o escolhido na segunda posição, logo temos 9 opções na segunda posição. Na terceira posição, não podemos escolher os números que saíram na posição 1 e 2, ou seja temos -2 opções restando apenas 8... 
observação: observe o fatorial ai, onde quanto mais opções temos mais próximo a 1 chegamos. ver mais sobre fatorial (https://didaticursos.blogspot.com/2021/05/fatorial.html).

10 . 9 . 8  = 720

Partindo desse princípio, para o caso de surgir uma quantidade grande de opções e posições, temos a fórmula já citada para ser utilizada de forma a poupar tempo.


Exemplo 2:
Em um concurso com 10 participantes, de quantas maneiras podem ser distribuídos um primeiro e um segundo premio sem que nenhum dos participantes ganhe mais de um premio?
2 posições e 10 opções que não pode se repetir... arranjo simples.

_____    ______

na primeira posição temos 10 opções, ja na segunda 9 opções, pois não pode repetir o escolhido na primeira posição, então:

10 . 9 = 90

ou fazendo pela formula:




Arranjo com repetição:

Neste tipo de arranjo, aceitam-se elementos repetidos. É possível repetir os elementos múltiplas vezes. Nesse caso a fórmula utilizada é:




Vamos ao exemplo:
Numa loja, os códigos de produtos são formados por quatro letras das 20 primeiras letras do alfabeto. Quantos formações de códigos de produtos são possíveis?

Observe então que temos 4 posições, e 20 opções que podem se repetir. Logo:

____   ____  ____  ____

Na primeira posição temos 20 opções, na segunda temos, também, 20 opções, pois pode se repetir. Na terceira e na quarta a mesma coisa, temos 20 opções logo teremos:

20 . 20 . 20 . 20 = 160.000 formações

Observe que a quantidade de opções se repete a quantidade de vezes dada nas posições... por isso aqui, temos uma potencia dada pela formula acima.

A fórmula foi criada também para agilizar o calculo em caso de números grande para se fazer a conta:


Exemplo 2:
Quantos números de 2 algarismos podem formar  com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 8?

Aqui temos 2 posições e 5 opções. Não tem restrição, então pode se repetir.

____   ____


5 . 5 = 25 números.

ou 


Arranjo condicional:

Nesse caso o arranjo possui, além da ordem dos elementos fazer a diferença, condições para seu agrupamento.


Exemplo:
Quantos arranjos com quatro elementos do conjunto {L, M, N, O, P, Q} começam com duas letras escolhidas no subconjunto {O, P, Q}?

Neste caso, as duas primeiras letras tem uma condição especial, por isso, vamos separar a questão em duas partes: selecionar as duas primeiras letras e selecionar as duas últimas.

Temos 4 posições:

____ _____ _____ _____

A primeira posição temos 3 opções, pois só podem começar com O, P e Q. Como ja escolhemos uma das 3 letras na primeira posição, na segunda nos resta apenas 2 das 3 posições.

Agora que definimos as 2 primeiras posições, temos as 2 ultimas no qual, não temos as condições impostas... teríamos as 6 opções de letras menos as 2 letras usadas na posição 1 e 2, ou seja 4 opções para a terceira posição. 
Na quarta posição, teremos as 6 opções menos as letras utilizadas nas posições 1, 2 e 3. logo :

3 . 2 . 4 . 3  = 72

Podemos também separar em formulas... onde teríamos 
2 posições iniciais e 3 opções de letras que não se repetem.
e 2 posições finais (6 opções iniciais - 2 usadas nas duas primeiras posições = 4 opções) e quatro opções de letras que não se repetem. Logo:


Como estamos trabalhando com combinação, vamos utilizar o principio multiplicativo do principio fundamental da contagem:
6 . 12 = 72



Principal diferença entre arranjo e combinação:



Vídeo:









Atividade geogebra:






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