Determinante - Teorema de Cauchy

Cauchy (1789-1857), matemático francês, fez um dos melhores trabalhos sobre determinantes. Em 1812, provou o teorema do produto de determinantes em seu longo tratado sobre o assunto. Cauchy usou permutações em seu texto e esta será também a abordagem utilizada no decorrer deste trabalho.

Então, segundo o Teorema de Cauchy, a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz M, de forma ordenada, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela é igual a zero.

Ou seja:

Observe que temos a Matriz M que tem 3 linhas e 3 colunas, ou seja, ordem 3.

Logo o Teorema de Cauchy diz que se pegarmos uma fila qualquer, nesse caso demonstramos com a primeira linha e somarmos o produto dos elementos pelo cofator da fila paralela, nesse caso utilizamos linha de baixo ( mas poderia ser a terceira linha, pois ainda é paralela a linha escolhida) teremos como resposta zero.

por isso:

a11 (elemento na linha 1 e coluna 1) * A21 (cofator do elemento da linha paralela) + a12 (elemento na linha 1 e coluna 2) * A22 (cofator do elemento da linha paralela) + a13 (elemento na linha 1 e coluna 3) * A23 (cofator do elemento da linha paralela) = 0

Vamos ao exemplo:

Vamos então, utilizar os elementos da primeira linha:     3     4    2

E calcular os cofatores da terceira linha, ou seja as posições: A31, A32, A33 

Que são as posições dos elementos: 5     6     7.

Vamos iniciar calculando os cofatores, para aprender mais sobre cofatores acesse a postagem: https://didaticursos.blogspot.com/2021/03/cofator-de-uma-matriz.html

Para calcular o cofator utilizamos a seguinte formula:

Onde i é a posição da linha, j é a posição da coluna e Dij é a determinante da matriz excluindo a linha e a coluna de i e j da matriz original.

A31 (excluímos a terceira linha e primeira coluna da matriz) e calculamos:

A32  (excluímos a terceira linha e segunda coluna da matriz) e calculamos:

 

A33  (excluímos a terceira linha e terceira coluna da matriz) e calculamos:

Agora, com os cofatores calculados, basta aplicar o teorema, que nesse caso é:

a11 * A31 + a12 * A32 + a13 * A33 = 0  logo:

3 * 14 + 4 * (-13) + 2 * (5) = 0

42 + (-52) + 10 = 0

42 - 52 + 10 = 0

confirmando o teorema de Cauchy.

O Teorema de Cauchy faz parte das propriedades das determinantes, facilitando assim, o calculo.

vídeo: