Matrizes - Multiplicação de matrizes

Para multiplicar uma matriz não faremos da mesma maneira que soma e subtração, elemento por elemento. Nesse caso temos que multiplicar linha com coluna e somar essas multiplicações. 

Não ha necessidade de que as matrizes sejam da mesma ordem nesse caso (mesmo tamanho), porém, o número de linha da primeira matriz, deve ser igual ao número de coluna da segunda matriz, ou vice versa. A matriz resultado terá a mesma quantidade de linha da primeira e a mesma quantidade de coluna da segunda matriz. 

Propriedades

Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: (A . B) . C = A . (B . C)

b) distributiva em relação à adição: A . (B + C) = A . B + A . C ou (A + B) . C = A . C + B . C

c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n

Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0m x n não implica, necessariamente, que A = 0m x n ou B = 0m x n.

Mas como se calcula?

Temos 2 matrizes:

Para multiplicar A* B temos que multiplicar a linha da primeira matriz, com a coluna da segunda coluna, somando esses elementos.

observe que a ordem da primeira matriz é de 3x2 (3 linhas e 2 colunas) da segunda matriz é 2x2 (2 linhas e 2 colunas) a matriz resultado terá a quantidade de linhas da primeira matriz e a quantidade de coluna da segunda matriz.

Exemplo:

primeira linha multiplicado com primeira coluna:

Primeira linha multiplicado com segunda coluna:

Primeira linha multiplicado com terceira coluna:

Segunda linha multiplicado com primeira coluna:

Segunda  linha multiplicado com segunda coluna:        

Segunda linha multiplicado com a terceira coluna:

Terceira linha multiplicado com a primeira coluna:

Terceira linha multiplicado com a segunda coluna:

Terceira linha multiplicado com a terceira coluna:

Agora basta fazer o calculo dentro da nova matriz... lembrando de fazer primeiro as multiplicações para depois fazer a soma:

Vamos para um exemplo prático?

Nos campeonatos de futebol, utilizamos tabelas para pontuar as vitorias, empates e derrotas e assim classificar os times... 

Sabendo que o peso de cada vitória é 3, de empate é 1 e derrota é zero.... temos a seguinte tabela:

Para calcular a pontuação geral de cada time, fazemos multiplicação de matrizes:

Agora basta calcular, multiplicando a linha da primeira matriz com a coluna da segunda matriz e somando os termos conforme abaixo:

resultado:

Vídeo:

atividade geogebra: