Matrizes - como fazer matriz inversa

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Uma matriz é invertida a outra quando a multiplicação de ambas tem como resultado a matriz identidade.


Lembrando que as matrizes identidades e consequentemente a inversão de matrizes só pode ser realizada em matrizes quadradas. Exemplos:









Agora sabendo disso tudo, o que fazer para calcular a matriz inversa?

basta pegar a matriz dada para ser invertida, multiplicar por uma matriz com elementos incógnitos de mesma ordem e igualar a matriz identidade de mesma ordem. Exemplo:

Como calcular a matriz inversa da seguinte matriz:


Vamos então multiplicar por uma matriz da mesma ordem com incógnitas e igualar a matriz identidade:


agora basta fazer a operação de multiplicação:

Se observarmos temos em cada coluna um sistema de 2 equações igualando aos elementos da mesma posição da matriz identidade.
7a +4c = 1
2a +3c = 0

7b+4d = 0
2b+3b = 1

basta calcular o sistema:
primeiro:
7a +4c = 1
2a +3c = 0

vamos pegar a primeira equação, isolar uma das incógnitas para substituir na segunda equação.


Agora tirar mmc











Achamos então o valor para a e c, agora vamos fazer o outro sistema para encontrar o valor de b e d.

7b+4d = 0
2b+3d = 1





















agora falta apenas achar o valor de b

















Então, agora achamos os valores da matriz inversa de B, montando a matriz inversa de B temos:







Mas e se for uma matriz de ordem 3X3

Vamos ao exemplo; calcular a matriz inversa da matriz:

Vamos montar a equação matricial:

vamos calcular a multiplicação:

Agora vamos montar as equações igualando a matriz identidade:
1a+2d+3g = 1
0a+1d+4g = 0
0a+0d+1g = 0

nessa primeira coluna vemos que, na ultima equação o a e o d estão valendo zero então basta achar o valor de g:
1g = 0
g = 0

Agora na equação do meio temos a =0 logo com o valor para g ja encontrado, podemos encontrar o valor para d:

1d+4g = 0
1d+ 4*0 = 0
1d+0 = 0
1d = 0
d = 0

Agora vamos encontrar o valor de a:
1a+2d+3g = 1
1a+2*0+3*0 = 1
1a = 1
a = 1


Vamos fazer o mesmo para a segunda coluna:
1b+2e+3h = 0
0b+1e+4h = 1
0b+0e+1h = 0

faremos igual anteriormente:
0b+0e+1h = 0
1h = 0
h = 0

0b+1e+4h = 1
1e+4*0 = 1
1e = 1
e = 1

1b+2e+3h = 0
1b+2*1+3*0 = 0
1b+2 = 0
b = -2

E o mesmo agora com a terceira coluna:
1c+2f+3i = 0
0c+1f+4i = 0
0c+0f+1i = 1

0c+0f+1i = 1
1i = 1
i = 1

0c+1f+4i = 0
1f+4*1 = 0
1f+4 = 0
f = -4

1c+2f+3i = 0
1c+2*(-4)+3*1 = 0
1c-8+3 = 0
1c-5 = 0
c = 5

Com isso, reorganizando a matriz teremos como raiz inversa a matriz:
Para conhecer mais sobre sistema de equação consulte:


Vídeo:








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