Determinante de quarta ordem ou mais - Teorema de Laplace
Para calcularmos determinantes de matrizes de ordem 4 a diante, não é possível seguir as regras utilizada até a terceira ordem.
O teorema de Laplace consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores.
Mas afinal de contas, o que é um cofator?
Cofator significa Complemento algébrico. Que completa o elemento de um determinante; fator numa multiplicação que se agrega aos demais fatores.
para conhecer mais sobre cofator acesse:https://didaticursos.blogspot.com/2021/03/cofator-de-uma-matriz.html
Vamos então escolher uma fila ou coluna e então aplicar a fórmula:
Então aqui teremos:
Como aqui nos gerou uma matriz de ordem 4 temos que aplicar Laplace para encontrar seu determinante.
D´= 4 . A´11 + 0. A'12 + 0 . A'13 + 0 . A'14
D´= 4 . (-12) + 0. A'12 + 0 . A'13 + 0 . A'14D' = -48
Vamos ao exemplo:
Dica: Escolher a fila que mais tem zero facilita muito no calculo.
Nesse caso iremos escolher a primeira coluna, pois tem muitos zero nela, outra opção seria a segunda linha.
Elemento a11 vezes seu cofator A11.
Elemento a21 vezes seu cofator A21
Elemento a31 vezes seu cofator A31
Elemento a41 vezes seu cofator A41
Elemento a51 vezes seu cofator A51
Basta, então, colocar os valores dos elementos e somar tudo isso agora.
D = 1 * A11 + 0 * A21 + 0 * A31 + 0 * A41 + 0 * A51
Note que como só um elemento é diferente de zero, só precisamos calcular o cofator para ele, pois independente do cofator dos demais elementos, multiplicando por zero será zero.
Então vamos calcular o cofator para A11.
excluímos a primeira linha e primeira coluna:
Vamos utilizar a primeira linha que é a que mais tem zero para prosseguir.
Aqui só precisamos calcular o cofator de A'11.
Então agora calculando o determinando da matriz de ordem 4 teremos:
D´= 4 . (-12) + 0. A'12 + 0 . A'13 + 0 . A'14
Então agora podemos voltar ao calculo da determinante que havia ficado:
A11 = -1² . (-48)
A11 = 1 . (-48)
A11 = -48
Logo o determinante da matriz:
é igual a -48.
vídeo:
