Inequação simultânea do segundo grau

 Além de inequações do segundo grau comum, podemos ter duas ou mais inequações acontecendo simultaneamente (ao mesmo tempo) para essas chamamos de inequação simultânea.

Lembrem-se sabemos que uma inequação é do segundo grau quando o maior expoente da incógnita dela é o 2.

Mas como resolvemos inequação simultânea do segundo grau?

vamos ao passo a passo:

a primeira coisa a se fazer é separa-la como um sistema.

exemplo:

–8 ≤ x² – 2x – 8 ≤ 0

observe que daqui é possível separar em duas inequações sendo:

-8 ≤  x² -2x - 8

e

x² - 2x - 8 ≤  0

Para resolver, agora devemos encontrar as raízes de ambas as inequações. Lembrando que as raízes são os valores para x quando Y = 0

logo temos na primeira inequação:

-8 ≤  x² -2x - 8

passamos o -8 para junto dos demais ficando:

0 ≤  x² -2x - 8 + 8

resolvendo temos:

0 ≤  x² -2x

Nesse caso temos  a = 1 b = -2 e c= 0

aplicando Bhascara temos

Como a é positivo, a concavidade é para cima, gerando o gráfico:

Note que entre os pontos é negativo pois esta abaixo da linha do x, ou seja, nos valores entre esses pontos, o y é negativo.

agora vamos estudar o sinal da inequação:

0 ≤  x² -2x

a expressão é maior ou igual a zero, ou seja, é igual ao zero ou positivo,  e tudo o que é positivo esta para fora dos números, além de que a igualdade existente junto ao sinal de diferença faz com que as bolinhas sejam pintadas para incluí-las, logo:

Vamos para a próxima inequação:

x² - 2x - 8 ≤  0

aqui a = 1 b =-2 e c=-8

reparem que a é positivo, por isso concavidade para cima, logo o gráfico ficará:

Aqui, os valores entre os pontos das raízes também estão abaixo do eixo x, ou seja, y é negativo...e os valores para fora estão acima, logo positivo.

Agora vamos analisar o sinal da inequação:

x² - 2x - 8 ≤  0

aqui a inequação é menor que zero, ou seja, negativa, logo:

Lembrando que os pontos estão preenchidos pois na inequação original o símbolo é de menor ou igual, incluindo assim os valores das raízes.

agora vamos juntas os dois gráficos e fazer e intersecção das duas inequações simultâneas:

com isso o conjunto solução fica:

S = {x ∈ ℝ | –2 ≤ x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 4}

Lê-se conjunto solução igual a x pertence ao conjunto dos números reais, tal que, -2 é menor ou igual a x e x é menor ou igual a 0, ou 2 é menor ou igual a x e x é menor ou igual a  4.

vídeo:

atividade de inequação do geogebra: