Inequação produto ou quociente

Vamos iniciar falando da Inequação produto, que é uma inequação que apresenta o produto de duas sentenças matemáticas na variável x. Elas podem aparecer conforme figura abaixo:

Mas como resolver a inequação produto?

Temos duas formas de resolver esse tipo de inequação, uma delas é fazendo resolvendo cada expressão como inequação ou fazendo a multiplicação termo por termo, tendo uma inequação de grau maior e resolve-la.

Vamos demonstrar os dois métodos. Começando por resolvendo cada expressão.

exemplo:

(2x + 6)*( – 3x + 12) > 0

Vamos dividir em 2 funções: y1 = 2x + 6 e y2 =  – 3x + 12

Vamos encontrar as raízes para ambas funções, para isso y = 0.

y1 = 2x + 6

2x + 6 = 0

a = 2 b = 6

isolando o x teremos:

2x = – 6

x = -6/2
x = –3

como a é positivo, temos uma função crescente, logo o gráfico será:

Observe que tudo o que for maior que -3 terá o y positivo, pois esta acima da reta de x. Já os valores abaixo de -3 terão os valores de y negativo, pois esta abaixo da reta de x.

Agora para a função y2.

y2 =  – 3x + 12

-3x + 12 = 0

a = -3  b = 12

isolando o x teremos:

–3x = –12

x = -12/-3
x = 4

Como a é negativo, a função será decrescente, logo o gráfico será:

Observe que tudo o que for maior que 4 terá o y negativo, pois esta abaixo da reta de x. Já os valores abaixo de 4 terão os valores de y positivo, pois esta acima da reta de x.

Agora vamos fazer o jogo de sinal entre ambos os gráficos, gerando o terceiro do jogo de sinal, e, analisando a inequação, (2x + 6)*( – 3x + 12) > 0, vemos que ela precisa ser maior que zero, ou seja, positiva, logo a solução será:

logo o conjunto relação será:

S = {x Є R / –3 < x < 4}

lê-se conjunto solução igual a x pertence ao conjunto dos números reais, tal que, -3 é menor que x e x é menor que 4.

Outra forma de se fazer é multiplicando todos os itens:

(2x + 6)*( – 3x + 12) > 0

Vamos fazer as multiplicações:

-6x² + 24x -18x +72 > 0

-6x² + 6x + 72 > 0

Como todos os números são divisores de 6, vamos reduzir a inequação dividindo todos os números por 6

teremos:

-x² + x + 12 > 0

Vamos identificar os valores de a, b e c.

a = -1 b = 1 c = 12

Aplicando Bhaskara, teremos:

∆ = b² - 4. a . c

∆ = 1² - 4 . (-1) . 12

∆ = 1 + 48

∆ = 49

Como a é negativo, o gráfico terá côncavo para baixo, ficando:

Observe que tudo o que esta entre -3 e 4 temos os valores de y positivo e os números menores que 3 e maiores que 4 temos os valores de y negativo. As bolinhas não estão pintadas pois a inequação é apenas maior e não maior e igual.

Agora analisando a inequação temos que:

-x² + x + 12 > 0  a inequação é maior que zero, ou seja... valores positivos... logo o conjunto solução será:

Logo o conjunto solução confere sendo S = {x Є R / –3 < x < 4}.

Você escolhe a maneira que achou mais fácil para resolver.

Inequação quociente

Na resolução da inequação quociente utilizamos os mesmos recursos da inequação produto, o que difere é que, ao calcularmos a função do denominador, precisamos adotar valores maiores ou menores que zero e nunca igual a zero.  Elas podem aparecer conforme figura abaixo:

exemplo:

Vamos dividir as funções adotando: y1 = x + 1 e y2 = 2x – 1
para encontrar as raízes y = 0.

Resolvendo as funções teremos:

y1 = x + 1
x + 1 = 0
a = 1 b = 1

x = –1

Como a é maior que zero a reta será crescente, logo o gráfico ficará:

Observe  que todo valor de x menor que -1 o y será negativo, já os valores para x maior que -1 o y será positivo.

y2 = 2x – 1
2x – 1 = 0

a = 2 b = -1
2x = 1
x = 1/2

Como a é maior que zero a reta será crescente, logo o gráfico ficará:

Devemos lembrar que uma das condição para que a divisão funcione, o denominador precisa ser diferente de zero. pois se tivermos uma divisão por zero, tenderemos a infinito como resposta. Com isso, a bolinha dessa função do denominador deve ser não pintada, pois a raíz do denominador não deve ser contemplada, para não dar zero.

juntando os dois gráficos teremos:

Observe que devemos fazer o jogo de sinal na junção de cada uma das inequações, após isso, vamos analisar a inequação:

note que ela tem que ser menor ou igual a zero, logo a sua resposta é negativa incluindo o valor da raiz para o numerador, lembrando que o denominador não pode incluir o valor da raíz para não ter o denominador igual a zero. Com isso teremos o conjunto solução:

S = {x Є R / –1 ≤ x < 1/2}

vídeo:

Inequação produto:

Inequação quociente: