Inequação do primeiro grau

 As inequações do primeiro grau, assim como acontece nas equações, são aquelas em que a incógnita possui como maior grau o 1. Lembrando que quando o expoente é igual a um não é necessário escreve-lo, pois ja é entendido que a incógnita aparece apenas uma vez.

As equações de primeiro grau são resolvidas da mesma forma que uma equação, isola-se a incógnita para encontrar seu valor, aplicando o principio da equivalência. Apenas temos que cuidar para que quando a incógnita fica negativa, temos que multiplicar a inequação por menos 1 (-1) e junto com ela, não podemos esquecer de alterar o sinal de menor ou maior quando o mesmo fizer parte da inequação.

Exemplo:

3x + 19 < 40

relembrando o principio de equivalência:

Para anularmos o 19 que esta somando com a incógnita, temos que subtrair dele 19 também, e se isso  for feito de um lado do sinal de desigualdade, temos que fazer do outro também:

3x + 19 - 19  < 40 - 19

3x < 40 - 19

3x < 21

Agora para anularmos o 3 que multiplica a incógnita temos que dividir por 3 em ambos os lados da desigualdade.

(3x)/3 < (21)/3

x < 21/3

x < 7

Logo x é menor que 7.

Outro exemplo, sem o passo a passo do princípio da equivalência.

15 - 7x ≤ 2x - 30

vamos isolar as incógnitas:

-7x -2x ≤ -30 - 15

-9x ≤ -45

nesse caso, temos a incógnita negativa, vamos multiplicar por menos 1 e inverter a desigualdade.

-9x ≤ -45 (-1)

9x ≥ 45

x ≥ 45/9

x ≥ 5

logo x é maior ou igual a 5

Observação, cuidado ao montar a inequação, pois o sinal deve acompanhar a inequação original. exemplo:

3 > x

se eu reescrever colocando a incógnita a direita, preciso manter que o 3 seja maior que x.

x < 3

pois se eu apenas alterar os lados, o inequação não será a mesma.

x > 3 - maneira errada.

outro exemplo

3 + 4 > 2x

correto permanecer os números maiores que a incógnita, ficando:

2x < 3 + 4

Como resolver pelo gráfico?

Uma outra forma de resolver uma inequação do 1° grau, é construindo um gráfico da equação da reta. Vamos ver como fazer isso através de um exemplo:

10 – 9x ≥ 2x -1

1º passo) Passamos todos os termos pro lado esquerdo da inequação, deixando um zero no lado direito.

10 – 9x – 2x +1 ≥ 0

2° passo) Somamos os termos semelhantes.

10 – 9x – 2x +1 ≥ 0

-11x + 11 ≥ 0

É essa a inequação que vamos utilizar a partir de agora.

3° passo) Trocamos a desigualdade ≥ por uma igualdade (=) e resolvemos a equação para encontrar sua raiz.

-11x + 11 = 0

-11x = -11

x = -11/-11

x = 1

4° passo) Construímos o gráfico da equação da reta y = -11x + 11

Se o sinal da incógnita x for positivo, a reta é crescente.
Se o sinal da incógnita x for negativo, a reta é decrescente;

-11x + 11 = 0

-11x = -11

Então, nesse caso a reta é decrescente, já que o x está sendo multiplicado por um número negativo.

5° passo) Fazemos o estudo do sinal para determinar a solução da inequação.

- y é igual a zero quando x é igual a 1.

pois: y = -11x + 11

0 = -11x + 11

11x = +11

x = 11/11

x = 1

- y é maior que zero (+) quando x é menor que 1.

exemplo x = 0

y = -11x + 11

y = -11 . (0) + 11

y = 0+ 11

y = 11

- y é menor que zero (–) quando x é maior que 1.

exemplo x = 2

y = -11x + 11

y = -11 . (2) + 11

y = -22 + 11

y = -11

A solução da inequação são os valores que tornam -11x + 11 ≥ 0 verdadeira, ou seja, os valores de x que levam a y ≥ 0 (y ser maior ou igual a zero).

Considerando o estudo de sinal, isso acontece quando x =1 e x <1, então a solução da inequação é x ≤ 1.

vídeo:

atividade do geogebra: