Reduçao ao primeiro quadrante

A redução ao primeiro quadrante permite reduzir o cálculo dos valores das funções trigonométricas aos arcos entre 0º e 90º. Ela é usada para facilitar nossos cálculos trigonométricos. 

Lembrando que o circulo trigonométrico possui os quadrantes da seguinte maneira:

Precisamos  conhecer também, a simetria presente no ciclo trigonométrico:

Com isso, podemos sempre reduzir os arcos dos quadrantes 2, 3 ou 4, ao seu arco correspondente no primeiro quadrante, com o mesmo valor da razão trigonométrica em modulo (valor absoluto, sem levar em consideração o sinal, que deve ser visto depois). 

Vale lembrar que os ângulos correspondentes possuem valores parecidos de seno, cosseno e tangente, e a distinção ocorre pelo sinal. No primeiro quadrante, os valores de seno, cosseno e tangente são positivos. No segundo quadrante, o seno é positivo, enquanto o cosseno e a tangente são negativos. No terceiro quadrante, seno e cosseno são negativos, enquanto a tangente é positiva. No quarto quadrante, seno e tangente são negativos, e o cosseno é positivo.

Para realizar essa redução, devemos:

- Localizar o quadrante em que está o arco a ser reduzido.

- Verificar o sinal da razão trigonométrica no referido quadrante.

- fazer a redução do arco, da seguinte maneira:

        - 2º - Quanto falta para 180º

        - 3º - Quanto passa de 180º

        - 4º - Quanto falta para 360º

exemplo: 

Reduzir 110º

110º é maior que 90 e menor que 180º logo esta no segundo quadrante.

quanto falta para chegar a 180º?

180 - 110 = 70

logo  o correspondente dele no primeiro quadrante é 70º.

Reduzir 240º

240 é maior que 180 e menor que 270, logo esta no terceiro quadrante.

quanto passa de 180?

240 -  180 = 60

logo  o correspondente dele no primeiro quadrante é 60º.

Reduzir 310º

310 é maior que 270 e menor que 360, logo esta no quarto quadrante.

quanto falta para 360?

360 - 310 = 50

logo o correspondente dele no primeiro quadrante é 50º

Quando se tratar de radiano, o processo é o mesmo, e para reduzir devemos fazer as perguntas:

        - 2º - Quanto falta para 𝞹

        - 3º - Quanto passa de 𝞹

        - 4º - Quanto falta para 2𝞹

Exemplo:

Antes, vamos lembrar que o valor de 90º em radiano é 𝞹/2rad ou seja 0,5𝞹 rad em decimal, 180º em radiano é 𝞹 rad, ou seja 1𝞹 rad, 270º em radiano é 3𝞹/2 rad ou seja, 1,5𝞹 rad em decimal e 360º é 2𝞹 rad.

Reduzir 2𝞹/3 rad

se dividirmos 2 por 3 = 0,6666... esse valor é maior que meio pi e um pi, logo esta no segundo quadrante.

Quanto falta para 𝞹?

Perceba que foi realizado o MMC para calculo de subtração de fração.

Reduzir 5𝞹/4 rad

Se dividirmos 5/4 = 1,25

maior que 1 pi e menor que 1,5 pi, logo faz parte do terceiro quadrante.

Quanto passa de 𝞹?

Reduzir 5𝞹/3 rad

Se dividirmos 5/3 = 1,66

maior que 1,5 pi e menor que 2 pi, logo faz parte do quarto quadrante.

Quanto falta para 2𝞹?

Após a redução basta encontrar o valor de seno, cosseno ou tangente desejado, analisando o sinal no quadrante do ângulo inicial (não do reduzido).

Exemplo:

vídeo:

atividade geogebra: