Medidas de um arco

 Arcos são as partes divididas por dois pontos em uma circunferência. Note na figura abaixo que o ponto A e B dividem a circunferência em duas partes, cada uma dessas partes é um arco.

As unidades utilizadas para medir um arco são: grau, radiano e o grado.

Arco de um grau (1º) = É um arco cujo comprimento corresponde a 1/360 do comprimento da circunferência. Lembrando que a circunferência toda em grau possui 360º.

Também podemos dividir o arco de 1 grau em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1’ (arco de um minuto). Da mesma forma, podemos dividir o arco de 1’ em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1” (arco de um segundo).

Arco de um grado (1gr) = É um arco cujo comprimento corresponde 1/400 do comprimento da circunferência. Lembrando que a circunferência toda em grado é de 400gr.

Arco de um radiano (1rad) = Radiano é a razão de um do comprimento do arco pelo seu raio. É um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência, ou ainda 1/2𝝅. Lembrando que a circunferência toda em radiano é de 2𝝅 ou 2 . 3,14... (aprox) = aproximadamente 6,28...

observar que 1 rad não é igual á 1𝝅 ou 𝝅 radiano. uma vez que 𝝅 é aproximadamente 3,14.

Como fazer a conversão?

Para fazer a conversão, podemos usar a regra de 3. por exemplo:

45º para radiano?

Vamos montar a tabela colocando na coluna o grau e o radiano e se perguntando: quantos radiano (X) vale 45º sabendo que 360º vale 2𝝅.

Grau       radiano

   45           X

  360         2𝝅

agora basta multiplicarmos cruzado:

360X = 45 . 2𝝅

360X = 90𝝅

X = 90𝝅/360

X = 9𝝅/36

X = 𝝅/4

Logo, 45º  vale 𝝅/4

Uma outra forma de converter seria apenas saber que 1º = 𝝅/180 e com essa informação basta multiplicarmos o grau que queremos por 𝝅/180.

exemplo: 

Quanto vale 45º em grado?

Vamos montar a tabela colocando na coluna o grau e o grado e se perguntando: quantos radiano (X) vale 45º sabendo que 360º vale 400gr.

Grau       grado

   45           X

  360         400gr

Fazendo a multiplicação cruzada temos:

360 X = 45 . 400

360 X = 18000

X = 18000/360

X = 50gr

Logo, 45º vale 50gr.

E quanto é 2𝝅/3 em grau?

Vamos montar a tabela colocando na coluna o grau e o radiano e se perguntando: quantos graus (X) vale 2𝝅/3 sabendo que 360º vale 2𝝅.

Grau       radiano

   X          2𝝅/3

  360          2𝝅

Fazemos a multiplicação cruzada temos 

2𝝅 X = 2𝝅/3 . 360

2𝝅 X = 720𝝅/3

2𝝅 X = 240𝝅

X = 240𝝅/2𝝅

X = 120

logo, 2𝝅/3 vale 120º

Também podemos lembrar que 1𝝅 = 180º logo para fazer a transformação então isolando o 1 temos que 1 radiano é igual a 180/𝝅

Logo, para transformar radiano em grau basta multiplicar por 180/𝝅

E como mudar de Grau para minutos?

Podemos usar a regra de 3 também nesse caso:

exemplo: transformar 0,5º em minutos

Montamos a tabelinha de grau e minutos, sabendo que 1º possui 60 minutos

grau      minutos

0,5             X

1                60

multiplicamos cruzado:

1X = 60 . 0,5

X = 30

logo 0,5º é igual a 30 minutos. ou 30'

Devemos lembrar que os simbolos de mínutos é '  e de segundos é "

outro exemplo: 0,12º em minutos?

grau      minutos

0,12             X

1                60

multiplicamos cruzado:

1X = 60 . 0,12

X = 7,2

Como temos número quebrado aqui, pegamos a parte inteira como minuto, nesse caso o 7 e o 0,2 vamos converter em segundos.

minutos     segundos

0,2             X

1                60

multiplicamos cruzado:

1X = 60 . 0,2

X = 12

logo 0,12 corresponde a 7 minutos e 12 segundos ou com seus símbolos: 7' 12"

Qual é a historia do grau?

No ano de 4000 a.C., quando egípcios e árabes tentavam elaborar um calendário, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita.

A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.

Hoje sabemos que a orbita da terra em torno do sol não é 360 dias, porém por tradição, esse valor permaneceu como a medida da circunferência

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E o Radiano, como surgiu?

Tendo sido impresso a primeira vem em 1873, o radiano foi usado para simplificar formulas matemáticas, como derivadas e integrais trigonométricas  nas provas da faculdade de James Thonson. Mais tarde, vendo esse uso, em 1874, Thomas Muir, que ja havia hesitado o uso do termo, passou a adotar definitivamente radian.

Acredita-se que este termo foi inspirado pela palavra Raio (radius).

O radiano pode ser considerado uma unidade de medida linear, identificada como unidade de medida angular, sendo o ângulo cujo arco correspondente é igual ao raio da circunferência. 

vídeo:

atividade geogebra: