Lei dos Senos e Cossenos

 Lei dos Senos

Vamos iniciar o estudo da lei dos Senos observando um triângulo escrito dentro de um circulo trigonométrico:

H

É sabido que o diâmetro de um circulo também pode ser escrito como 2 vezes o raio: D = 2r

Observando a figura é possível perceber que a distancia de O até A é de r.

Se ligarmos os pontos ACH temos um triângulo retângulo, logo o 

Sen H = cateto oposto / hipotenusa

Sen H = b/AH

Como o ângulo formado no triângulo retângulo em H é o mesmo que o B, logo:

Sen H = Sen B

Então:

Sen H = Sen B =  b/AH

AH equivale ao diâmetro, ou, 2r, logo:

Sen B =  b/2r

isolando o 2r temos:

2r = b /Sen B

Notem que temos a linha b sobre Sen B, se fizermos o mesmo com o ângulo de A teremos a sobre Sen A e do ângulo C teremos c sobre Sen C, ficando:

Lei dos Cossenos:

A Lei dos Cossenos são as seguintes:

Vamos analisar o seguinte triângulo:

Nota-se que foi formado 2 triângulos retângulos com ele, e com isso temos aplicando Pitágoras para conhecer o valor de c:

c² = m² + h²

Podemos isolar o h² ficando:

h² = c² - m²

No triangulo retângulo maior formado, podemos também aplicar Pitágoras:

b² = h² + (a-m)²

vamos colocar no lugar do h² o valor encontrado do primeiro triângulo do h² ficando:

b² = (c² - m²) + (a-m)²

temos produtos notáveis, sendo a diferença do quadrado ficando:

b² = c² - m² + (a² - 2am + m²)

logo o m² se anulam ficando:

b² = c² + a² - 2am

Aqui também temos o calculo de Cos, onde o Cos B = cateto adjacente/hipotenusa

substituindo pelas letras do triângulo, temos:

Cos B = m/c

agora vamos isolar esse m:

m = c . Cos B

agora vamos substituir na formula anterior o m

b² = c² + a² - 2 . a . c . Cos B

se aplicarmos para cada ângulos, geraremos todas as formulas:

A Lei dos Senos e dos Cossenos é um dos teoremas mais importantes da trigonometria (ciência que estuda os triângulos). Com o uso dessa lei é possível estabelecer relações que auxiliam no cálculo dos ângulos e dos lados do triângulos.

A aplicação dessa lei é específica para o triângulo acutângulo (possui todos os ângulos agudos, menores que 90°), o triângulo obtuso (possui um ângulo interno obtuso, maior que 90º), entre outros.

Aplicação prática:

O construtor deseja calcular a distância do ponto A ao ponto C, pontos onde a ponte será construída, entretanto ele não possui nenhuma ferramenta que meça essa distância, mas ele conhece de matemática e teve a seguinte ideia. “Como eu possuo uma ferramenta que calcula ângulos, conseguirei determinar o comprimento desta ponte”. Com isso ele marcou um ponto B, calculou o ângulo BÂC que foi igual a 85°, caminhou até o ponto B, uma distância de 2km, e calculou o ângulo ABC obtendo um ângulo de 65°. O construtor acredita que com essas informações será possível calcular o comprimento da ponte.

Note que as únicas informações dadas foram:

Note pelas formulas já citadas, que nesse caso, a formula dos senos é mais útil, sendo:

O objetivo é determinar o valor do segmento AC, sendo assim utilizaremos as duas últimas proporções.

História:

Quem inventou a lei do seno e do cosseno foi o iraniano Ghiyath al-Kashi, cumpre frisar que a matemática islâmica cumpriu um papel de grande contribuição para o desenvolvimento das ciências exatas desta era, conhecida também como Idade de ouro islâmica.

A lei do seno e cosseno, apesar de ter sido inventada entre os séculos XIV e XV, até hoje se perpetua no ensino do estudo matemático, tanto na educação fundamental e de nível médio, quanto nos níveis superiores de educação das ciências exatas, eternizando a teoria desenvolvida pelo ilustre Ghiyath al-Kashi.

vídeo:

Lei dos Senos:

Lei dos Cossenos:

atividade geogebra: