Arcos Côngruos e expressão geral

 Dois arcos são côngruos, ou congruentes, quando tem a mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas inteiras.

Mas afinal, o que são arcos???

São as partes divididas por dois pontos em uma circunferência. Note na figura abaixo que o ponto A e B dividem a circunferência em duas partes, cada uma dessas partes é um arco.

As medidas dos arcos côngruos a um arco de medida 𝛂 são dados pela expressão geral:

𝛂 + k . 2𝞹  

onde k 𝟄 Z (k pertence aos números reais) e 𝛂 em radiano.

𝛂 + k . 360º  

onde k 𝟄 Z (k pertence aos números reais) e 𝛂 em graus.

Se 0 ≤ 𝛂  ≥ 2𝞹  ou Se 0 ≤ 𝛂  ≥ 360º o arco de medida 𝛂 é a determinação principal ou determinação não negativa. (em outras palavras o ponto que parar no circulo independente de suas voltas).

Como saber se o arco é congruo?

Existe um macetinho... 

vamos para um exemplo:

temos um arco com 6230º e outro arco com 8390º

Vamos subtrair esses valores:

8390 - 6230 = 2160

Agora, pega o resultado e divide pela volta completa do arco, ou seja, 360º

Se o resto for zero, ou seja, se na calculadora der número inteiro, significa que são côngruos.

Nesse caso, 2160/360 = 6 

Logo os arcos de 8390º e 6230º são côngruos.

outro exemplo:

os arcos com 2010º e 900º são côngruos?

2010 - 900 = 1110

1110/360 = 3,08 logo esses dois arcos não são congruentes.

E se for radiano?

vamos para um exemplo:

Temos os arcos de 4𝞹 e 2 𝞹 será que são côngruos?

A conta será a mesma.... 

4 - 2 = 2

dividimos o resultado agora por 2 pois a volta completa em radianos é de 2𝞹,

2/2 = 1 

logo esses arcos são congruentes.

outro exemplo:

os arcos de medida 7𝞹 e 2𝞹 são côngruos?

7 - 2 = 5

agora dividimos o resultado pela volta completa de 2𝞹.

5/2 = 2,5

logos esses dois arcos não são congruentes.

E a expressão Geral para que serve?

A expressão geral nos ajuda a reescrever a medida do arco separando as voltas de onde ele vai parar. Assim, achamos a primeira determinação não negativa ou determinação principal.

Exemplo:

Temos o arco de medida de 6230º como encontrar a expressão geral dessa medida?

Primeiro dividimos a medida por 360º para saber quantas voltas o arco deu no circulo.

6230/360 = 17,30

As voltas completas são apenas os números inteiros. Nesse caso 17 voltas completas.

agora temos que fazer essa continha na caixa para saber o resto.

Logo a expressão desse arco será:

110º + 17 . 360º

Logo para saber os demais arcos côngruos, a expressão geral será de:

110º + k . 360º, k 𝟄 Z

ou seja, qualquer arco que tiver essa expressão independentemente da quantidade de voltas será congruente a esse.

E em radiano como faz?
igual. :D

exemplo:

Relembrando:

vídeo:

atividade geogebra:

Veja a atividade no link:

https://www.geogebra.org/m/xvtf9Cax