Progressão Geométrica - PG

 Progressão Geométrica é toda sequencia em que multiplicando por uma mesma constante a cada termo obtemos o termo seguinte, ou seja, uma sequencia em que o espaçamento entre os números é uma multiplicação por um mesmo número.

Vamos analisar a sequencia: 3, 6, 12, 24, 48...

notem que dividirmos 6/3 = 2 ou se dividirmos 12/6 = 2 ou se dividirmos 24/12 = 2 e assim por diante... então a sequencia é o número multiplicado por 2 que gera o próximo valor. Então nesse caso o quociente é 2.

Logo, se eu pegar o primeiro termo a1 e multiplicar por 2 temos o segundo termo. 

a1 . q = a2

3 . 2  = 6

Se eu pegar o primeiro termo a1 e multiplicar por 2 2x teremos o terceiro termo.

a1 . q . q = a3  

3 . 2 . 2 = 12

Notem que quando tenho multiplicação do mesmo numero posso escreve-lo sob forma de potencia

a1 . q² = a3

Se eu pegar o primeiro termo a1 e multiplicar por 2 3x teremos o quarto termo.

a1 . q . q . q = a4

3 . 2 . 2 . 2 = 24

Notem que podemos reescrever em forma de potencia também:

a1 .q³ = a4

Perceba que o expoente do q é sempre um numero menor do que a posição do numero exemplo quarto termo o q é elevado a 3, terceira posição o q é elevado a 2 e assim por diante, logo, também, percebemos que para encontrar o termo n ou seja an basta multiplicar o a1 pela razão elevado ao valor de n-1.

Classificação da PG:

As progressões geométricas, da mesma forma que as progressões aritméticas, classificam-se em finitas, infinitas, decrescentes, crescentes e estacionárias. Além disso, as progressões geométricas de razão negativa são chamadas de alternadas, porque seus termos são alternadamente positivos e negativos.

Uma PG é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a1 > 0 e q > 1, ou a1 < 0 e 0 < q < 1. Por exemplo:
(4, 8, 16, 32...) é uma PG crescente de razão q = 2;
(-4, -2, -1, −12...) é uma PG decrescente de razão q = 12.


Uma P.G. é constante quando todos os seus termos são iguais. Para isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja 1 ou que todos os seus termos sejam nulos. Observe:
(8, 8, 8, 8...) é uma PG constante de razão q = 1.
(0, 0, 0, 0...) é uma PG constante de razão indeterminada.

Uma PG é oscilante quando todos os seus termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos quaisquer têm sinais opostos. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a1≠0 e q < 0. Veja:

(3, -6, 12, -24, 48, -96...) é uma PG oscilante de razão q = -2.
(-1, 12, −14, 18, −116...) é uma PG oscilante de razão q = −12.

Uma PG é quase nula quando o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a1≠0 e q = 0. Por exemplo:
(8, 0, 0, 0, 0...) é uma P.G. quase nula.

Como calcular a PG:

Assim como na progressão aritmética, na progressão geométrica podemos realizar o calculo manual.

por exemplo:

2, 6, 18, 54...

qual é o quinto termo dessa PG?

Nesse caso temos 

 a1 = 2

a2 = 6

a3 = 18

a4 = 54

se eu dividir a2/ a1 ou a3/a2 ou a4/a3 terei sempre 3 como resposta, então essa é uma PG de quociente 3.

então se eu multiplicar o quarto termo por 3 terei o quinto termo.

a4 . q = a5

54 . 3 = 162

logo meu quinto termo é 162... mas e se alguém pedir o decimo termo???? ficaria melhor fazer um por um e chegar até o 10 ou aplicar a fórmula que descobrimos acima???

Muito mais rápido aplicar a fórmula.

então temos a1 = 2

q = 3

an = a10 = ?

n = 10

Então o decimo termo é 39366.

Propriedade da PG:

Numa PG positiva qualquer termo é a média geométrica entre o termo anterior e o seguinte. Assim, na PG (1, 2, 4, 8, 16, 32), temos:
4 é a média geométrica entre 2 e 8, porque 4 = 2⋅8−−−−√;
8 é a média geométrica entre 4 e 16, porque 8 = 4⋅16−−−−√.

A média geométrica é calculada pela formula:

Ver mais sobre média geométrica na postagem sobre.

Numa PG a multiplicação dos extremos sempre dará o mesmo valor.

exemplo:

PG (1, 2, 4, 8, 16, 32)

32 . 1 = 32

16 . 2 = 32

8 . 4 = 32

Numa PG com quantidade impar de termos, o termo do meio pode ser encontrado através da média geométrica dos extremos.

exemplo:

PG (1, 2, 4, 8, 16)

TM =  √ 1 . 16

TM = √16

TM  = 4

soma e produto de uma PG:

Numa PG finita, podemos calcular a soma de todos os termos através da formula:

Exemplo:

Qual é a soma dos termos da PG (2, 4, 8, 16, 32)?

2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

Nesse caso esta fácil somar termo por termo, mas caso o número de termos seja muito grande, é possível aplicar a formula acima:

an = 32

q = 4/2 = 2

a1 = 2

n = 5

Sn = 32 . 2 - 2

         ________

            2 - 1

Sn = 64 - 2

         _____

             1

Sn = 62

         __

          1

Sn = 62

Além dessa formula ainda temos outra que também soma os termos da PG finita, sendo:

Usando a mesma PG acima onde:

an = 32

q = 4/2 = 2

a1 = 2

n = 5

Sn = 2 . ( 2⁵ - 1)

        ________

           2 - 1

Sn = 2 . (32 - 1)

        _________

              1

Sn = 2 . 31

Sn = 62

observe que das 3 maneiras realizadas o resultado será o mesmo.

Soma de PG infinita:

É possível calcular a soma dos termos de uma PG infinita através da fórmula:

onde:

a1 = primeiro termo

Sn = soma dos termos

q = quociente.

Essa fórmula só vale para q sendo menor que 1 e maior que -1.   -1 < q < 1.

Exemplo: numa PG infinita de razão = 1/4 e primeiro termo igual a 4 qual é a soma dos termos?

Produto dos termos de uma PG.

Sendo a PG (2, 4, 8, 16, 32) qual é o produto dos termos?

2 . 4 . 8 . 16 . 32 = 32768.

Podemos também calcular através de formula. A formula facilita muito o calculo, principalmente quando se tem uma grande quantidade de termos, sendo a formula:

aplicando a formula da PG acima temos:

a1 = 2

an = 32

n = 5

Curiosidade:

Para exemplificar a progressão crescente, no mundo existem, atualmente, cerca de 294 mil casos. De acordo com o site da OMS, no dia 1º de março, existiam 89,5 mil casos mundiais e hoje, dia 22, existem 294 mil.

Se tomarmos a1 como 1º de março e a22 como 22 de março, teremos: a1 = 89,5 mil e a22= 294 mil, basta descobrir a razão para multiplicar os termos e, prever, de forma aproximada, quantos casos terão o a23, nesse caso, o dia 23 de março.

Detalhe, como a progressão geométrica é crescente, seus termos tendem, como o próprio nome sugere, a crescer. No entanto, este é um exemplo onde não estamos considerando a cura, ou seja, a diminuição dos casos."

Fonte: https://blog.enem.com.br/como-e-feita-a-previsao-da.../

História da PG:

Na Mesopotâmia surgiram várias tabletas babilônicas muito interessantes, mas nenhuma delas foi tão extraordinária quanto a tableta Plimpton 322 (1900 a 1600 a.C.). Numa dessas tabletas, a progressão geométrica 1+2+2²+...+29 é somada de forma que a série de quadrados 1²+2²+3²+...+10² é achada. A Matemática no Egito antigo nunca alcançou o nível obtido pela Matemática babilônica, talvez porque os egípcios tenham se mantido em semi isolamento, enquanto a babilônia era o centro das rotas de navios, e consequentemente, era um centro de troca de saberes. No entanto, devemos lembrar que os egípcios desenvolveram um papel primordial na preservação de muitos papiros que contribuíram para o nosso conhecimento atual sobre a Matemática.

O papiro Rhind (ou Ahmes) data aproximadamente de 1650 a. C. e nada mais é do que um texto matemático na forma de manual prático que Papiro Rhind contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. 

No Papiro de Rhind também aparece uma progressão geométrica muito interessante formada pelas frações ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 do Hekat, (unidade comum do volume usada para medir quantidade de grãos). Os termos dessa sequência são conhecidos como frações dos olhos do deus Hórus.

Diferença entre PA e PG

Foi possível observar que na PA, a razão é sempre somada com o termo anterior para gerar o termo posterior, e essa é a maior diferença da PA para PG (progressão Geométrica), pois na PG a razão se chama quociente e o termo anterior multiplica ela para se achar o termo posterior.

Vídeo

sobre PG:

Propriedades da PG:

Soma e produto da PG

atividade geogebra: