Progressão Aritmética - PA
A progressão aritmética é uma sequencia de números que obedece uma razão, ou seja, uma sequencia no qual entre um número e outro a distância é sempre a mesma.
Note acima que a sequencia pula de 5 em 5, logo é uma progressão aritmética de razão 5.
Perceba que razão é a diferença do número da frente com o número de trás, e para que seja uma progressão aritmética é necessário que essa razão seja sempre a mesma.
No caso da figura o primeiro termo que chamamos de a1 = 10, o segundo termo que chamamos de a2 = 15, o terceiro termo que chamamos de a3 = 20 e assim sucessivamente até o a9 = 50.
Note que se quisermos encontrar o a10 basta somar o 50 com a razão que é 5 ficando:
a10 = 55
A sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita.
A sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.
Classificação de uma PA:
De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em:Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.
Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.
Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5
Como calcular?
Podemos fazer o calculo manual da PA, como por exemplo:
qual é o 4º termo da PA abaixo?
3, 7, 11,
aqui esta fácil perceber que a razão dessa PA é 4 e se somarmos 4 com 11 teremos 15, logo o quarto termo dessa PA é 15.
Mas e se a PA for gigantesca, será que vale a pena ficarmos procurando todos os termos?
para isso existe fórmula:
Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da P.A. fazendo:
Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo:
Substituindo o valor de a2, que encontramos anteriormente, temos:
Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar:
Observando os resultados encontrados, notamos que cada termo será igual a soma do primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior.
Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética. Assim, temos:
Onde,
an : termo que queremos calcular
a1: primeiro termo da P.A.
n: posição do termo que queremos descobrir
r: razão
Exemplo:
Calcule o 15° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...Vamos identificar cada item:
a1 = 26
n = 15 (pois é o 15º termo que queremos encontrar)
r = 31 - 26 = 5
an = a15 = ?
Note que para encontrar a razão basta subtrairmos o termo posterior pelo anterior.
Agora vamos aplicar a fórmula.
an = a1 + (n-1).r
a15 = 26 + (15 - 1) . 5 - primeiro fazemos o que esta entre parênteses
a15 = 26 + 14 . 5 - depois as multiplicações e divisões
a15 = 26 + 70
a15 = 96
Logo o 15º termo é 96.
Propriedade da PA:
Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.exemplo:
Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética do primeiro termo com o último termo.
Podemos também encontrar a soma dos termos de uma PA através da formula:
onde:
sn = soma dos n primeiros termos da PA
a1 = primeiro termo
an = ultimo termo
n = número do ultimo termo somado
exemplo:
Some os 15° primeiros termos da P.A.: (26, 31, 36, 41, ... a15 = 96)
Note que é o mesmo exercício que usamos acima.
identificando:
sn = ?
a1 =26
an = a15 = 96
n = 15
Poderíamos fazer a soma termo por termo:
26 + 31 = 57
57 + 36 = 93
93 + 41 = 134
.....
porém quando temos uma quantidade grande de termos para ser somado é muito mais prático usar a fórmula que nos gera a resposta com menos trabalho.
História da Progressão Aritmética:
Foi possível observar que na PA, a razão é sempre somada com o termo anterior para gerar o termo posterior, e essa é a maior diferença da PA para PG (progressão Geometrica), pois na PG a razão se chama quociente e o termo anterior multiplica ela para se achar o termo posterior.
vídeo:
Termo geral:
Termo médio e soma de PA:
