Função logarítmica Natural - base e

 O logaritmo natural é aquele que possui a base e, em que e, é conhecido como constante de Euler sendo seu valor de aproximadamente 2,71828..... o seja, é um número irracional.

Origem:

Definição:

Assim como no estudo dos logaritmos, podemos estabelecer algumas definições sobre o logaritmo natural:

- lne=1

Usando a definição de logaritmo natural, temos que lne=logee

Usando a definição de logaritmo, temos:
logee=x⇔ex=e

Pelas propriedades da potenciação, se as bases são iguais, os expoentes também são, assim, x = 1 e lne=logee=1

- ln1=0

Usando a definição de logaritmo natural, temos que ln1=loge1

Usando a definição de logaritmo, temos: loge1=x⇔ex=1

Pelas propriedades da potenciação, todo número elevado a potência 0 é igual a 1, assim, x = 0 e ln1=loge1=0

- lnen=n

Usando a definição de logaritmo natural, temos que lnen=logeen

Uma das propriedades do logaritmo diz que o logaritmo de uma potência é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo cujo logaritmando é a base da potência. Assim, logeen=n⋅logee.

Como logee=1, temos que logeen=n⋅logee=n⋅1=n.

Propriedades:
       O logaritmo natural de um produto é igual à soma dos logaritmos naturais:

ln(a⋅b)=lna+lnb

O logaritmo natural de um quociente é igual à diferença dos logaritmos naturais:

ln(ab)=lna−lnb

 

O logaritmo natural de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo natural da base dessa potência.

lnan=n⋅lna

Mudança de base:

Em um logaritmo natural, a base é e. Podemos mudar da base para a base decimal (10). Veja:

lna=logea

Mudando para a base 10:

logea=log10alog10e

Como log10e≈0,43, temos:

logea=log10a0,43=10,43⋅loga=2,3⋅loga

Portanto, podemos realizar uma mudança de base considerando sempre a relação

lna=2,3⋅loga

O inverso da função exponencial natural, definida como f(x) = e^x, é a função logarítmica natural.

Vídeo sobre o logaritmo natural do professor Paulo Pereira do canal Equaciona:

https://www.youtube.com/watch?v=JHZ5fFr44SA

Análise do logarítmo natural via geogebra: