Função exponencial natural (base e)

A função exponencial natural é denotada por  e^x  ou exp (x), cuja base e é uma constante irracional de valor = 2,718281828459045235360287471352662497757...

Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número. O número e aparece na resolução de equações em que as incógnitas aparecem em expoente.

O gráfico de y = e^x   é uma curva de inclinação positiva e crescente. O gráfico está totalmente acima do eixo das abcissas (x) e cresce mais rápido à medida que x aumenta. O eixo x é uma assíntota horizontal pois a curva se aproxima arbitrariamente de zero quando x é negativo. A declividade da reta tangente é sempre igual à coordenada y no ponto de tangência. A função inversa é o logaritmo natural ln(x), em função disso, alguns textos antigos se referem à função exponencial natural como antilogaritmo.

Propriedades básicas da função exponencial:

Se x e y são números reais e k é um número racional, então:

y = exp(x) se, e somente se, x = ln(y).
exp[ln(y)] = y para todo y>0.
ln[exp(x)] = x para todo x real.
exp(x+y) = exp(x)exp(y)
exp(x−y) = exp(x)/exp(y)
exp(x.k) = [exp(x)]^k

Simplificações matemáticas:

Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções exponenciais e logaritmos:
exp(ln(3)) = 3
ln(exp(20x)) = 20x
exp(5×ln(2)) = exp(ln(2⁵)) = 2⁵ = 32

exp(2+5ln(2)) = exp(2)exp(5ln(2)) = 32e²

Relação de Euler:

 A função exponencial y = e^x aparece na descrição de vários fenómenos naturais e evolutivos. É o que se passa, por exemplo, na capitalização de juros (Economia), no crescimento de uma população (Biologia), na desintegração radioactiva (Química), na propagação de uma doença (Medicina), entre outros.

Exemplo de aplicação:

fonte: http://www.uel.br/projetos/matessencial/basico/medio/exponenciais.html

Curiosidade:

  A representação do número 2,718281828459... pela letra e surgiu, pela primeira vez, no século XVIII com Euler. Esta designação conserva-se como homenagem a este matemático, embora o número seja chamado Número de Neper.

Neper não se apercebeu da importância do número e. Só um século depois, com o desenvolvimento do cálculo infinitesimal, se veio a reconhecer o papel relevante deste número.

Funções exponenciais de base e pode ser realizada na calculadora.

Percebam na atividade abaixo do geogebra que a função logarítmica de base e aparece nos casos de covid-19.