Derivada

Derivada é um estudo para encontrar os coeficientes num determinado estudo da função, em outras palavras, mostrando na figura, é o coeficiente angular da reta (inclinação da reta) que tangencia a função.

Vamos supor uma função que nos dá o preço do combustível durante os vários meses de um ano. Se calcularmos a função derivada do preço, em ordem aos meses, então iremos obter a variação do preço ao longo dos meses. Isto representa a inflação do combustível. Se essa função derivada for uma constante então significa que a inflação está estável.

As aplicações das derivadas são imensas, mas está sempre relacionado com uma taxa de variação. O exemplo mais comum é pensarmos numa função que nos dá a deslocação de um objeto num determinado intervalo de tempo. Enquanto que a taxa de variação da função num intervalo nos permite calcular a velocidade média, a derivada permite-nos calcular a velocidade instantânea. Tomemos como exemplo um atleta a participar numa corrida de 100 metros, se eu quiser saber a que velocidade é que o atleta ia no preciso momento em que cruzou a meta, então terei que utilizar a derivada.

Outra aplicação muito útil da derivada consiste em descobrir os máximos e os mínimos de uma função. Vamos supor que tenho uma função que representa o lucro de uma empresa ao longo do tempo. Com as derivadas torna-se relativamente simples descobrir em que altura é que a empresa conseguiu obter o maior lucro. O cálculo dos pontos de inflexão também podem ser obtidos através da segunda derivada e assim descobrirmos se os lucros da empresa estão a acelerar ou desacelerar.

E como surgiu a derivada???

Como calcular a derivada?

No gráfico abaixo, temos uma reta que cruza em 2 pontos do côncavo:

Ao analisar essa figura, podemos notar que temos um triangulo retângulo com relação ao eixo.

O coeficiente angular é igual a tangente.

Para calcular a tangente em trigonometria temos a formula:

Tg = cateto oposto / cateto adjacente

logo olhando na figura temos o nosso:

cateto oposto = f(x + ∆x) - f(x)

cateto adjacente =  x + ∆x - x

então:

 Tg = f(x + ∆x) - f(x)  /  x + ∆x - x

x - x da zero do denominador, logo

Tg = f(x + ∆x) - f(x)  /   ∆x 

Então aplicando isso ao limite temos:

Aplicação:

No enunciado a derivada pode apresentar como pedido para calcular a derivada ou para calcular o coeficiente angular ou ainda para calcular a inclinação da reta tangente, é tudo a mesma coisa = derivada.

exemplo:

Determine a inclinação da reta tangente de f(x) = x² - 2x + 1 em x e y.

temos a formula:

agora basta substituirmos os f(x) pela função do enunciado, e onde o f(x + ∆x) substituir no lugar do x o (x + ∆x) para colocar no lugar do f(x + ∆x), ficou complicado? veja abaixo:

Como o ∆x tende a zero então nossa função derivada da função do enunciado f(x) = x² - 2x + 1 fica:

2x - 2

Para não precisar fazer todo esse calculo em todas as funções que precisamos derivar existem algumas regras de derivação para que o calculo seja direto:

Com essas regras, é possível fazer direta a derivada, como por exemplo:

se temos a função f(x) = 2x + 3 a derivada é o valor de a, lembrando que se escreve como ax + b logo a derivada dessa função é 2.

se temos a função f(x) = x³ a derivada é 3x², pois a regra dessa derivada que é conhecida como a regra do tombo, diz que, o expoente do x passa a multiplica-lo e o seu expoente decresce 1.

se temos um número como função, a derivada dele é zero

e entre outros.

exemplo:

f(x) x² + 4x - 5 qual é a derivada?

x² na regra de derivada fica 2x¹ ou 2x

4x na regra de derivada fica 4

-5 na regra de derivada fica 0 

logo

a sua derivada é 2x + 4 

vídeo:

Sobre a derivada

Regras de derivação

Atividade no geogebra: