Sistemas de equação do primeiro grau
Quando há mais de uma equação para resolver o mesmo problema, dizemos que temos um sistema de equações e costumamos escrevê-lo com uma chave, como está representado abaixo.
Agora basta fazer a operação com as equações:
Como resolver?
Existe duas formas de resolver o sistema, por adição e por substituição:
POR SUBSTITUIÇÃO
Para resolver pelo método de substituição, basta pegarmos uma das equações e isolar uma das incógnitas:
como no exemplo da figura:
x + y = 31
x = 31- y
Agora na outra equação, substituímos o x, que foi quem isolamos, pela expressão após a igualdade.
X - y = 5
(31 - y) - y = 5 (é sempre importante colocar todo o valor encontrado da primeira expressão de x entre parênteses, pois se tivesse algo multiplicando o x ele multiplicaria todos os valores que foram colocados no lugar do x).
Nesse caso que não tem multiplicação tiramos tudo do parênteses e resolvemos:
31 - y -y = 5
31 - 2y = 5
Agora vamos isolar o -2y e resolver:
-2y = 5 - 31
-2y = -26
Agora isolamos o y e resolvemos:
y = -26/-2
y = 13
O sistema é usado quando temos 2 incógnitas ou mais que em 2 situações diferentes ou mais nos gera um resultado. exemplo:
Suponha agora o seguinte problema: Uma estudante universitária foi a um hipermercado fazer compras. Sabendo que ela gastou apenas notas de 20 e de 5 reais, sendo o total de notas igual a 16 e que o preço total foi de R$183,00, responda:
Com quantas notas de R$20,00 e de R$5,00 ela pagou sua conta e não ficou devendo? A estudante recebeu troco? Se sim, de quantos reais?
Chamaremos as notas de R$20,00 de xx e as notas de R$5,00 de yy. Como ela pagou com 16 notas, segue que adicionando uma quantidade de notas de R$20,00 (que chamamos de xx) mais uma quantidade (não necessariamente igual) de notas de R$5,00 (que chamamos de yy), o resultado será 16. Ou seja:
x + y = 16
Temos também que essa quantidade de notas de R$20,00 (xx) vezes R$20,00 mais a quantidade de notas de R$5,00 (yy) vezes R$5,00, deve resultar em R$183,00 (valor total da conta a ser paga). Ou seja,
20x+5y=183
logo:
x + y = 16
20x+5y=183
Resolvendo como aprendido:
isolando o x de uma das equações:
x = 16 - y
aplicando o resultado no lugar do x da outra equação:
20 (16 - y ) + 5y = 183
20.16 - 20y + 5y = 183
320 - 15y = 183
-15y = 183 - 320
-15y = -137
y = -137/-15
y = 9,13
Como estamos falando de quantidade de notas, não existe 9,13 notas... precisamos arredondar.
Vamos usar a primeira equação para achar um valor de x e validar na segunda equação:
arredondando y = 10:
x + y = 16
x + 10 = 16
x = 16 -10
x = 6
20 . 6 + 5 . 10 = 183
120 + 50 = 183
170 < 183
Nesse caso ela terá menos dinheiro para pagar a conta... logo não satisfaz nossa resposta.
arredondando y = 9:
x + y = 16
x + 9 = 16
x = 16 - 9
x = 7
20 . 7 + 5 . 9 = 183
140 + 45 = 183
185 > 183
Nesse caso, ela terá mais dinheiro do que a conta, sobrando ainda 2,00 de troco.
Então ela precisou de 7 notas de 20 reais e 9 notas de 5 reais para pagar a conta, dando 185,00 no total, fazendo com que receba de troco 2,00.
POR ADIÇÃO
Para resolver pelo método de adição é necessário realizar da seguinte maneira:
Primeiro vamos multiplicar uma das equações por um número que faça com que seja possível anular uma das incógnitas, no nosso exemplo, podemos multiplicar a segunda equação por -1 que fará com que o -5y seja igual a 5y e se anule com a equação de cima ou podemos multiplicar por -4, para anular o Z. Vamos multiplicar por -4.
Agora que encontramos o valor de y, vamos usar uma das equações e substituir o y pelo valor calculado.
-5*(3) + 4z = -11
-15 + 4z = -11
4z = -11+15
4z = 4
z = 4/4
z = 1
vídeo:
atividade no geogebra:
