Vamos observar 2 conjuntos de números inteiros:
A: 0, 1, 2, 3, 4 , 5
B: 0, 5, 10, 15, 20, 25
Podemos notar que a cada uma variação do conjunto A, há 5 variações do conjunto B: logo temos uma função em que B = 5A, ou seja B é igual a o valor de A ampliado 5 vezes.
vamos chamar A de x e B de y, poderíamos escrever a função como:
f (x) significa função de x, e podemos reescreve-la como y, pois é y que altera em função de x, ou seja, dependendo do valor de x é o valor de y.
A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) = ax + b, sendo a e b números reais.
Lembrando que 1º grau é porque o maior expoente da função é 1.
No exemplo acima, note que foi montado pares ordenados com os pontos (A, B) ou (x, y) e montado um gráfico em um plano cartesiano.
ver sobre plano cartesiano:
https://didaticursos.blogspot.com/2020/11/planos-cartesianos.html
Se gerássemos uma função com:
f(x) = 6x
teríamos os seguintes pares ordenados.
P = (0, 0), (1, 6), (2, 12), (3, 18), (4, 24), (5, 30)
Já, se a função fosse:
f(x) = 7x
teríamos os seguintes pares ordenados.
P = (0, 0), (1, 7), (2, 14), (3, 21), (4, 28), (5, 35)
Colocando no plano cartesiano teríamos as 3 funções teríamos:
Podemos inferir que o valor que multiplica x, que chamamos de coeficiente angular, faz com que a reta altere seu ângulo com a horizontal (por isso que ele se chama coeficiente angular, não é mesmo?). Quanto maior o valor do coeficiente angular, maior será este ângulo em relação a horizontal, veja:
Por isso chamamos o valor de a de uma função qualquer de coeficiente angular.
Se eu tiver as coordenadas, como calcular o coeficiente angular???
observe que a hipotenusa é a reta PU, cateto adjacente ao ângulo é PV, ou ainda, o eixo de x, e cateto oposto ao ângulo é UV, ou ainda o eixo do y.
Para encontrar o valor do ângulo alpha seria necessário utilizar o calculo da tangente, onde:
tg 𝞪 = cateto oposto / cateto adjacente, logo:
tg 𝞪 = UV/PV
ou ainda:
tg 𝞪 = y/x
usando essa formula:
tg 𝞪 = UV/PV
tg 𝞪 = 25/5
tg 𝞪 = 5
Esse resultado é importantes pois o valor do coeficiente angular da reta, o valor que multiplica a variável independente x, informa a inclinação da reta em relação ao eixo horizontal. E ele pode ser obtido através da tangente do ângulo, considerando o triângulo formado pelo segmento da reta estudada e suas projeções verticais e horizontais.
Equação fundamental da reta:
(y−yo)=m⋅(x−xo) Essa equação formada é chamada de equação fundamental da reta. Dessa forma podemos concluir que a equação fundamental da reta é obtida por um ponto pertencente a essa reta mais o seu coeficiente angular, ficando sempre em função de outro ponto.
por exemplo:
m = 5
xo = 0
yo = 0
x e y podem ser quaisquer pontos que pertençam a função.
E então, essa função pode apresentar também o seguinte formato:
(y−0)=5.(x−0) ou y=5.(x−0)+0
Dedução da equação linear:
segundo o curso de matemática da Avamec:
Agora se incluíssemos um valor para b, como por exemplo:
Para y=5x+1 temos:
para x = 0
y = 5 . 0 + 1
y = 1
para x = 1
y = 5 . 1 + 1
y = 6
para x = 2
y = 5 . 2 + 1
y = 11
para x = 3
y = 5 . 3 + 1
y = 16
para x = 4
y = 5 . 4 + 1
y = 21
para x = 5
y = 5 . 5 + 1
y = 26
Se aumentassemos 1 o valor de b teríamos:
y=5x+2
onde:
para x = 0
y = 5 . 0 + 2
y = 2
para x = 1
y = 5 . 1 + 2
y = 7
para x = 2
y = 5 . 2 + 2
y = 12
para x = 3
y = 5 . 3 + 2
y = 17
para x = 4
y = 5 . 4 + 2
y = 22
para x = 5
y = 5 . 5 + 2
y = 27
E ainda se aumentassemos mais 1 o valor de b ficando:
y = 5x + 3
para x = 0
y = 5 . 0 + 3
y = 3
para x = 1
y = 5 . 1 + 3
y = 8
para x = 2
y = 5 . 2 + 3
y = 13
para x = 3
y = 5 . 3 + 3
y = 18
para x = 4
y = 5 . 4 + 3
y = 23
para x = 5
y = 5 . 5 + 3
y = 28
com os pares ordenador teríamos os seguintes gráficos:
Note que o coeficiente angular (o 5 que multiplica x) define a inclinação (ângulo com a horizontal) das retas. Agora vamos observar o que acontece quando mudamos os números que adicionamos ao 5x. O que ocorre é que essas retas parecem "deslizar" (translação) uma unidade para cima.
Este valor, que faz a reta "deslizar", neste caso, para cima, é chamado de coeficiente linear.
observe também que:
y=m.(x−x₀)+y₀ e y=ax+b
representam formas diferentes, porém parecidas, da mesma equação.
Quando temos o valor de a negativo, ou a <0, teremos uma reta decrescente, observe:
f(x) = -5x
teríamos os seguintes pares ordenados.
P = (0, 0), (1, -5), (2, -10), (3, -15), (4, -20), (5, -25)
observe que nosso gráfico estaria no quarto quadrante com x positivo e y negativo.
Agora se o b for negativo, ou b <0, então nosso gráfico deslizará para baixo, exemplo:
Para y=5x-1 temos:
para x = 0
y = 5 . 0 - 1
y = -1
para x = 1
y = 5 . 1 - 1
y = 4
para x = 2
y = 5 . 2 - 1
y = 9
para x = 3
y = 5 . 3 - 1
y = 14
para x = 4
y = 5 . 4 - 1
y = 19
para x = 5
y = 5 . 5 - 1
y = 24
Se o valor de b for = -2 teríamos:
y=5x-2
onde:
para x = 0
y = 5 . 0 - 2
y = - 2
para x = 1
y = 5 . 1 - 2
y = 3
para x = 2
y = 5 . 2 - 2
y = 8
para x = 3
y = 5 . 3 - 2
y = 13
para x = 4
y = 5 . 4 - 2
y = 18
para x = 5
y = 5 . 5 - 2
y = 23
E ainda se o valor de b = -3 ficando:
y = 5x -3
para x = 0
y = 5 . 0 - 3
y = -3
para x = 1
y = 5 . 1 - 3
y = 2
para x = 2
y = 5 . 2 - 3
y = 7
para x = 3
y = 5 . 3 - 3
y = 12
para x = 4
y = 5 . 4 - 3
y = 17
para x = 5
y = 5 . 5 - 3
y = 22
No gráfico teríamos:
Quando nosso coeficiente angular é igual a zero, temos uma função constante:
Exemplo de uso, resolução da CAPES - AVAMEC:
vídeo:
atividade no geogebra:
