Função do segundo Grau ou quadrática
Se considerarmos o conjunto A como o domínio (onde x ∈ A), B como o contradomínio e também o conjunto imagem (onde y ∈ B), podemos dizer então que :
Observamos que estes pontos no plano cartesiano assemelham-se a uma antena parabólica, não? Estes pontos unidos formam o gráfico de uma parábola, para quando temos a relação quadrática entre y e x (ou seja, x elevado ao quadrado).
O gráfico para uma função do segundo grau é uma parábola.
Quando a maior que 0 (a>0 - positivo) a ponta da parábola é apontada pra baixo e a abertura pra cima.
Quando a menor que 0 (a<0 - negativo) a ponta da parábola é apontada pra cima e a abertura para baixo.
Outra informação importante é a de que quanto menor o valor absoluto (desconsiderando o seu sinal) da concavidade a, maior a abertura da parábola. Podemos perceber a influência do sinal e do valor de a nos gráficos das funções a seguir. À medida que o valor absoluto de a vai aumentando, a parábola vai se tornando mais “fechada”.
E se a for igual a zero?
Neste caso a função deixa de ser quadrática, pois teríamos y=0 . x² = 0, ou seja, teríamos uma reta constante que seria o próprio eixo x.
O formato genérico de uma função do segundo grau é:
onde:
a é a concavidade da parábola, como colocamos anteriormente;
b é o coeficiente que acompanha x de uma função quadrática;
c é o coeficiente independente de uma função quadrática.
Quando o c = 1 significa que a parábola tocará o eixo y no valor 1. O coeficiente c sendo igual a 1, significa que o ponto (0,c), no caso (0,1), será o ponto onde a parábola transpassará o eixo y.
Quanto maior o valor de c, maior o valor em que a parábola toca o eixo y. Temos a percepção de que ela “sobe”.
Quanto menores os valores de c, menor o valor em que a parábola perpassa o eixo y, então percebemos que a parábola “desce”...
Com c=0, que corresponde à função y=x²+x, temos que o ponto onde a parábola toca o eixo y trata-se da origem (0,0).
Quando o b for positivo significa que a parábola, após atravessar o eixo y, seguirá "crescendo".
Assim, se aumentarmos o valor do coeficiente b, mantendo a e c fixos, percebemos que este proporciona um "certo deslocamento" do gráfico da parábola em relação aos quadrantes.
Se b for positivo, como na função y=x²+x+1, quanto maior o seu valor, maior será o deslocamento de seu gráfico para o segundo e terceiro quadrantes.
Se b for negativo, como na função y=x²−x+1, notamos que a reta tangente ao ponto que corta o eixo y - o ponto A(0,1) - possui uma inclinação "descendente", ou seja, negativa.
Para b=0, o que corresponde à função y=x2+1, por exemplo, temos que a reta tangente é paralela ao eixo x (uma reta horizontal). A parábola fica simetricamente dividida pelo eixo y.
Assim, de forma resumida, temos que cada coeficiente produz uma alteração no gráfico de uma parábola.
Raiz da função o que é??? é o valor de x quando y = 0.
exemplo f(x) = x²
x² = 0
x = 0
Nesse caso o par ordenado é (0, 0) logo:
Para encontrar as raízes da função do segundo grau completa temos que usar a fórmula de Bháskara (lembrando que equação do segundo grau possui 2 raízes), recomendo ver a postagem de equação do segundo grau que mostra as formas de calcular e tudo mais sobre a equação do segundo grau:
https://didaticursos.blogspot.com/2020/11/equacoes-do-2-grau-como-surgiu-e-como.html
O ponto de vértice de uma parábola pode váriar de arcordo com o valor de a. Se a for positivo (a > 0) o ponto de vértice é um ponto mínimo, ou seja, o de menor valor da função. E se a for negativo (a < 0), o ponto de vértice é um ponto de máximo, o de maior valor da função estudada.
Então, para encontrar o valor que intercepta o eixo x, basta igualar a função a 0 ou seja y = 0 e calcular o valor de x.
Para encontrar os pontos x e y do vértice basta usar as seguintes equações:
Como se chegou a essa fórmula?
vídeos:
atividade extra do curso de matemática do avamec:
Determine o valor de k para que a função f(x)=(2−k).x2−5x+3 admita valor máximo.
Portanto, para que 2−k seja negativo, k deve ser maior que 2 e, seguindo essa condição, a parábola terá concavidade voltada para baixo e logo, terá um valor máximo.
Ora, veja que quando k está entre −4 e 4, os valores de g(k) são positivos (a parábola está nos quadrantes em que o eixo vertical é positivo - acima do eixo k).
Quando k é menor que −4, os valores de g(k) são negativos (a parábola está nos quadrantes em que o eixo vertical é negativo - abaixo do eixo k).
Quando k é maior que 4, os valores de g(k) são negativos (a parábola está nos quadrantes em que o eixo vertical é negativo - abaixo do eixo k).
Portanto, g(k)=16−k² é positivo quando está entre −4 e 4.
Qual deve ser o valor de k para que a parábola que representa a função f(x)=x2−2x+k passe pelo ponto (−3,2)?
atividade no geogebra:
