Equações do 2º Grau - como surgiu e como resolver

É aquela equação que só possui uma incógnita e o maior expoente que aparece nela é o 2. Sendo formada da seguinte maneira:

onde a, b e c são os coeficientes da equação, e:
a é o coeficiente que acompanha o termo de grau 2;
b é o coeficiente que acompanha o termo de grau 1;
c é o termo independente, ou seja, aquele que não é acompanhado por incógnita.

Para uma equação ser do segundo grau, o valor de b e c pode ser zero, porém se o a for igual a zero, não teremos uma equação do segundo grau, ficando o grau da equação o maior expoente de x em que o coeficiente seja diferente de zero.

Exemplos de equação do segundo grau:

2x²−4x−16=0
Sabendo que:
a=+2
b=−4

c=−16

2y²−y−5=0
Sabendo que:
a=2
b=−1
c=−5

z²−z=0
Sabendo que:
a=1
b=−1
c=0

w²−2=0
Sabendo que:
a=1
b=0
c=−2

w²=0
Sabendo que:
a=1
b=0

c=0

Uma equação do segundo grau possui dois valores que, se forem substituídos no valor da incógnita, resulta em uma solução verdadeira. Ou seja, possui duas raízes, mesmo que elas sejam duplas (repetidas).

Lembrando que raízes da equação são os valores para a incógnita quando igualamos a equação a zero.

COMO RESOLVER UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU:

- Quando não há coeficiente c:

Nesse caso, podemos colocar a incógnita em evidencia e resolver lembrando que o produto de dois números é igual a zero, se um deles é zero ou os dois são zero.

exemplo:

x² + x = 0

x ( x + 1) = 0

Como pela lógica para essa multiplicação de x . (x+ 1) ser igual a zero o x precisa ser zero.

então uma raíz é x = 0

Agora fazemos a conta para o que x + 1 seja zero para que a igualdade também seja zero.

x+ 1 = 0

x = -1

Então, a segunda raíz é x = -1.

Resposta: x= (0, -1)

- Quando não há coeficiente b:

Nesse caso, basta isolarmos a incógnita:

x² - 2 = 0

x² = 2

x =± ⎷2

Logo as raízes para essa equação são x = ⎷2 e x = -⎷2

- Quando possui todos os coeficientes:

Para isso precisamos precisamos aplicar a famosa formula de Bháskara:

Temos duas formas de utilizar a fórmula de bháskara, de maneira inteira ou decomposta:

maneira inteira

Maneira decomposta

Na maneira decomposta retiramos o que esta dentro da raíz e passamos a chamar de delta... calculando separadamente.

Observe que entre o −b e a raiz quadrada temos o seguinte sinal: ± . Ele significa que o sinal do valor antes da raiz quadrada pode ser negativo ou positivo.

Por isso, podemos ter duas raízes para uma equação de segundo grau.

O sinal definirá dois caminhos de cálculo, podendo resultar tanto em valores diferentes (como x=2 e também x=−3) como também iguais - obtendo assim duas raízes repetidas que, para fins práticos, corresponde a apenas um valor.

Para calcular usando Bháskara precisamos na equação, primeiramente definir o que é o a, b e o c. Após isso aplicar na fórmula:

- Método da soma pelo produto:

É possível descobrir as raízes por meio da soma e produto das mesmas, A primeira, utilizando a adição das duas raízes e igualando a soma a −b/a (que são coeficientes da equação). E a segunda multiplicando as duas raízes e igualando o produto a c/a (que também são coeficientes da equação), vejamos:

Exemplo:

X² - 5x + 6 = 0

Temos:

a=1

b=−5

c=6

−b/a = S⟹ −(−5)/1 = 5/1 = 5

c/a = P ⟹ 6/1 = 6

Assim:

x1 . x2 = 6 e x1 + x2 = 5

Pensando se x1 = 2 e x2 = 3 teremos como satisfazer as 2 situações, pois:

2 . 3 = 6

2 + 3 = 5

O valor de delta é determinante na existência da raiz em uma equação do segundo grau.

Caso seu delta seja negativo, a raiz não será pertencente ao conjunto dos números reais e só poderemos dar sequência com o conhecimento de números complexos.

Podemos também ter um delta que gere uma raiz não exata.

nesse caso, resolveremos até onde for possível, exemplo:

x² + 3x + 1 = 0

a = 1 b= 3 c=1

⧍ = b² - 4 . a . c

⧍ = (3)² - 4 . 1 . 1

⧍ = 9 - 4

⧍ = 5

Mas afinal de onde surgiu a fórmula de Bháskara??

A fórmula de Bhaskara, apesar de ser temida e odiada.. veio para facilitar nossa vida para resolver equações do segundo grau.
Antes disso, usava-se geometria para tal..
Vem conhecer a historia das resoluções dessa equação

No Egito: Não existem registros conhecidos sobre equação do segundo grau, mas historiadores matemáticos acreditam que eles dominavam alguma técnica de resolução dessas equações. Essa crença vem da descoberta do papiro de Kahun contendo uma solução de uma equação escrita, hoje, como: x² + y² = k, com k positivo, com o mesmo método que usavam para resolver equações do primeiro grau chamada: falsa posição.

Na Mesopotâmia: Foi na mesopotâmia que foi descoberta o primeiro registro de solução da equação do segundo grau datado em 1700A.C. Ela foi feita numa tabua de argila através de palavras, como uma receita de bolo, ou melhor, uma receita matemática. Era mais ou menos assim:

Qual é o lado de um quadrado em que a área menos o lado da 870? (hoje escrito: x² - x = 870)

Tome a metade de 1 (coeficiente de x) e multiplique por ela mesma, (0,5 x 0,5 = 0,25). Some o resultado a 870 (termo independente).

Obtêm-se um quadrado (870,25 = 29,5²) cujo lado somado à metade de 1 vai dar o lado do quadrado procurado (30).

Na Grécia: Como o sistema de numeração grego era pouco pratico e com dificuldade de tratamento dos números racionais e irracionais, eles desenvolviam muitos de seus problemas através da geometria, dentre esses, as soluções para equações do segundo grau.

Um dos processos noticiados de equações que hoje escrevemos como x² - 10x + 9 = 0 era tratado por eles da seguinte maneira:

Na Índia: A matemática indiana trouxe muitos destaques: Bhaskara de Akaria e Sridhara. Bhaskara, no século XII, usou a solução mais conhecida como a utilizada atualmente e Sridhara doi responsável pela determinação que original a fórmula atual de solução conhecida como fórmula de Bhaskara.

Bhaskara apresentou solução de segundo grau ao resolver problemas comerciais e financeiros. e sua solução, descrita na linguagem atual, era da seguinte maneira:

Um capital de 100 foi emprestado a uma certa taxa de juros ao ano. Após 1 ano, o capital foi retirado e o juros obtidos foi aplicado durante mais 1 ano. Se o juros total foi de 75. Qual foi a taxa ao ano?

Sendo a taxa %, tem-se que o juros no primeiro ano será de x e no segundo ano será de x*x/100, ou seja, a equação em linguagem algébrica hoje seria: x + x * x/100 = 75 ou x² + 100x - 7500 = 0.

E a solução era anunciada também em palavras, o que seria, na linguagem atual como:

Eleve a metade do capital (coeficiente de x) ao quadrado, acrescente o resultado ao produto dos juros totais (termo independente) pelo capital, extraia a raiz quadrada e diminua a metade do capital, o que leva à solução procurada (x = √50² + 75*100 - 50 = 50).

No Mundo árabe: O Rei Al-Mamum, durante seu reinado no século IX, um centro cientifico semelhante a biblioteca de Alexandria chamada de casa da sabedoria (Bait al-hikma) dos quais passaram muitos matemáticos. Dentre esses matemáticos temos Mohamed ibn-Musa al-Khowarizmi, que dentre tantas obras, também escreveu em 825 a obra conhecida como Hisab al-jabr wa Imuzabalah traduzido como ciência das equações. Em sua obra, ele apresenta a solução da equação de segundo grau de forma retórica, além de comprovação geometrica distinta do usado pelos gregos que ele chamava de Método de completar quadrados.

Na China: Em 1303 um matemático chamado Chu shih-chich apresentou a obra chamada Ssu -Yüan Yú-chien (precioso espelho dos 4 elementos) com tecnicas para soluções de equação do segundo grau baseada em aproximações sucessivas denominadas método fan-fan. Essa tecnica chegava a uma única raiz positiva.

Em 1819 o matemático inglês Willian George Horner reivindica a descoberta do método fan-fan e batiza-o de método de Homer.

O método fan-fan consiste no seguinte:

para encontrar a solução de uma equação, que hoje escrevemos como: x² + 252x - 5292 = 0, ele partia de uma solução aproximada, no caso x = 19 ( a raiz positiva dessa equação esta entre 19 e 20), e usava o fan-fan, no caso a transformação y = x - 19, para obter a equação y² + 290y = 143 em y, cuja a solução esta entre 0 e 1. Identificando y² com y, obtinha-se uma solução aproximada para essa equação: y = 19+143/291, e assim, o valor inicial de x era corrigido para y = 19 + 143/291 = 19,49. A idéia era repetir o processo a partir desse novo resultado até chegar a um número que não mais se modificasse. No caso, fazendo z = x - 19,49, obtinha-se a equação em z z² + 290,98z = 0,66 e dai: z = 0,66/291,98 = 0,0022, o que confirmava as 2 casas decimais do valor encontrado no passo anterior. (os primeiros dígitos dessa raiz são: 19,49226).

Na Europa: Os problemas envolvendo equações do segundo grau eram resolvidas conforme a receita usada por Bhaskara. Do século XV ao XVII, muito matemáticos que desenvolveram formas distintas para solucionar tais equações, dentre eles, o método de Viéte (1540 - 1603) que consistia em considerar 2 novas variáveis u e v e fazer x = u + v.

Em 1637, o francês René Descartes, além de possuir uma notação que diferia da atual somente pelo símbolo de igualdade, desenvolveu um método geométrico para solução positiva. Descartes resolve equações do tipo: x² = bx + c², x² = c² - bx e x² = bx - c², sempre com b e c positivos. Por exemplo:

para resolver equações do tipo x² = bc+ c² ele usou o seguinte método:

Hoje sabemos que a segunda raiz é -PM, mas Descartes não considerava a raiz negativa.

No século XVIII, o inglês Sir Jhon Leslie em sua obra Elements of Geometry, apresenta os seguinte procedimento:

Atualmente: Para utilizar as equações do segundo grau, utilizamos representações herdadas pelos europeus e a solução fornecidas pelos hindus. sabe-se contudo que desde 1700A.C. houve preocupação como trato e o desenvolvimento desse tipo de equação, analisando as relações entre seus coeficientes para determinar mais facilmente o seu sinal, módulo e valores.

Retirado da revista do professor de matemática.

"Erroneamente, na década de 1960, a literatura matemática no Brasil atribuiu à Bháskara, um matemático indiano do século X, a descoberta da famosa fórmula para determinar raízes de uma equação de segundo grau. Na verdade, problemas que envolviam equações quadráticas surgem na Babilônia há aproximadamente 4.000 anos. No Museu Britânico encontram-se algumas tábuas babilônicas feitas de argila onde estão escritos 36 problemas sobre construção, onde alguns deles abordam as primeiras tentativas da solução de uma equação do segundo grau. Muitos matemáticos durante os séculos seguintes contribuíram para a formulação de uma solução geral do problema das equações quadráticas, mas foi só no século XIV que o matemático François Viète introduziu uma escrita algébrica padronizada que permitisse identificar as variáveis de um problema, principalmente em construções geométricas. A escrita algébrica foi de suma importância para a solução de equações, pois antes do conceito que nos permitiu nomear variáveis, o problema era enunciado e solucionado por meio de palavras."
https://www.infoescola.com/matematica/formula-de-bhaskara/

Mas como surgiu a fórmula?

uma explicação retirada da Capes - matemática 2020