Decomposição de polinômio

Para fazer a decomposição de um polinômio é necessário primeiramente conhecermos as raízes dele. As raízes são os possíveis valores para x no polinômio e, ainda, sua quantidade varia de acordo com seu grau.

Perceba que apenas 

o coeficiente dominante é utilizado na decomposição, juntamente com as raízes. Para deixar tudo mais claro, vamos ver um exemplo de forma decomposta do polinômio p(x) que tem como raízes -22, 3 e 7:

Continuando nesse raciocínio, quando você resolvia equações de segundo grau o discriminante resultava em zero, você já sabia que a equação possuía duas raízes reais iguais, né? Mudando um pouquinho as palavras, podemos dizer que a multiplicidade da raiz é 2, ou seja, a multiplicidade de uma raíz indica quantas vezes aquela raíz se repete. Assim, no caso do nosso exemplo, como temos as raízes -2, 3 e 7 todas elas têm multiplicidade 1, que indica que não são repetidas, ou seja, são raízes simples. 

Saber a multiplicidade das raízes é muito importante na hora de traçar um gráfico. Vamos para outro exemplo:

p(x) = x² - 6x + 9 

raízes = 3

p(x) = (x - 3) . (x - 3)

p(x) = (x-3)²

Ou seja multiplicidade igual a 2 (expoente da decomposição).

Voltando a decomposição.....

Com essas raízes disposta da seguinte maneira, temos a decomposição dos polinômios:

P(x) = a * ( x - r1) * (x - r2) * (x - r3).... (x-rn)

Onde a = é o número que antecede o x de maior grau e r são as raizes.

Exemplo:

x² - 5x + 6 

Raízes da equação do segundo grau: 

r1 = 2

r2 = 3

Logo, temos P(x) = 1 * ( x - 2) * (x - 3)

Ao fazer a operação contrária temos :

x² - 3x -2x + 6 = 

x² - 5x +6

Outro exemplo: 

2x³  - 6x² + 8x - 24

Raízes:

r1 = -2i

r2 = 2i

r3 = 3

P(x)  = 2 * [x - (-2i)] * (x - 2i) * (x - 3)

P(x) = 2* (x + 2i) * (x - 2i) * (x - 3)

Essa é a reposta do polinômio decomposto.

Pode-se fazer a operação contrária, fazendo a multiplicação através da propriedade distributiva para voltar ao polinômio.

vídeo: